Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen

1. Muokataan epäyhtälö perusmuotoon

$ax^2+bx+c>0\ \left(tai\ <0{,}\ \le0{,}\ge0\right)$

2. Ratkaistaan vastaava yhtälö

$ax^2+bx+c=0$

eli määritetään paraabelin

$y=ax^2+bx+c$

nollakohdat

3. Laaditaan merkkikaavio paraabelin nollakohtien ja paraabelin aukeamissuunnan avulla (paraabelin kuvaajan hahmottaminen)

- HUOM! Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos a > 0 ja alaspäin, jos a < 0

4. Päätellään epäyhtälön ratkaisujoukko merkkikaavion avulla

Ratkaise epäyhtälö

$x\left(x-1\right)\le2$

Muokataan perusmuotoon

$x^2-x-2\le0$

(millä x:n arvoilla paraabeli y = x^2 - x - 2 saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla (ei saa positiivisia arvoja))

Ratkaistaan vastaava yhtälö

$x^2-x-2=0\ \ \left(määritetään\ paraabelin\ nollakohdat\right)$

$x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm3}{2}$
$x=2\ tai\ x=-1\ \left(kohdat{,}\ joissa\ paraabeli\ leikkaa\ x-akselin\right)$

Nyt paraabeli aukeaa ylöspäin, koska x^2-termin kerroin a = 1 >0

Paraabeli saa negatiivisia arvoja nollakohtien välissä

eli

$x^2-x-2\le0{,}\ kun\ -1\le x\le2$

Huom! voidaan laatia myös merkkikaavio

$\begin{array}{l|l} +&-1\ \ \ \ -\ \ \ \ &2\ \ \ + \end{array}$

josta voidaan todeta ratkaisujoukko

Huom!

Merkkikaaviosta nähdään, että

$x^2-x-2>0{,}\ kun\ x<-1{,}\ x>2$

Kotitehtävät: 363, 354 ja 356