Polynomeilla laskeminen

Laske/sievennä

$2x^2-3x+5-2\left(-x^2+3x-1\right)=2x^2-3x+5+2x^2-6x+2=$

(yhdistetään samanmuotoiset eli samanasteiset termit eli

$\left(x^2-{,}\ x-\ ja\ vakiotermit\right)$

$=4x^2-9x+7$

$3x\left(4x^2-x+6\right)=3\cdot4\cdot x\cdot x^2-3x\cdot x+6\cdot3x=12x^3-3x^2+18x$

$\left(a-3\right)\left(2a+1\right)=a\cdot2a+a\cdot1-3\cdot2a-3\cdot1=2a^2+a-6a-3$

$=2a^2-5a-3$

Sievennä

$x\left(x+3\right)-\left(x-3\right)\left(x+2\right)=x^2+3x-\left(x^2+2x-3x-6\right)$

$=x^2+3x-x^2-2x+3x+6=4x+6$

$x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x\left(x^2-2x+x-2\right)=x\left(x^2-x-2\right)=x^3-x^2-2x$

c) Laske seuraavan lausekkeen arvo, kun a = -3

$\left(2a-2\right)\left(2+2a\right)-\left(2a^2+3a-5\right)+3a\left(a+1\right)$

Sievennetään ensin lauseketta avaamalla sulkeet ja yhdistämällä samanmuotoiset termit

$=4a+4a^2-4-4a-2a^2-3a+5+3a^2+3a=5a^2+1$
$nyt\ kun\ tähän\ sijoitetaan\ a\ =\ -3\ saadaan$

$5\cdot\left(-3\right)^2+1=46$

Jaa polynomi tekijöihin

Etsitään polynomista yhteistä tekijää, jonka avulla polynomi voidaan kirjoittaa tulomuotoon

$x^2-4x=x\cdot x-4\cdot x=x\left(x-4\right)$

b)

$3x-9x^2=3x\left(1-3x\right)$

c)

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)+x\left(x-4\right)$

Huomataan että molemmilla on nyt yhteisenä tekijänä x - 4

$=\left(x-4\right)\left(x+1+x\right)=\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$

Sievennä

$\left(x-4\right)\left(x+4\right)-\left(x+4\right)^2=x^2+4x-4x-16-\left(x+4\right)\left(x+4\right)$

$=x^2-16-\left(x^2+4x+4x+16\right)=x^2-16-x^2-8x-16$
$=-8x-32$

Muistikaavat

Polynomilaskennassa muistikaavoilla tarkoitetaan binomin neliötä sekä summan ja erotuksen tuloa. Binomi on polynomi, jossa on kaksi termiä (yhteenlaskettavaa)

1. Binomin neliö

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$\left(\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\right)$

Huom!

$a^2\ ja\ b^2\ ovat\ aina\ etumerkiltään\ positiivisia$

termien a ja b kaksinkertainen tulo

$2ab\ on\ etumerkiltään\ positiivinen{,}\ jos\ molemmat\ termit\ ovat\ samanmerkkisiä\ ja$
$2ab\ <0{,}\ kun\ a\ ja\ b\ ovat\ erimerkkiset$

2. Summan ja erotuksen tulo

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

Sievennä käyttäen muistikaavoja

$\left(2x-3\right)^2=\ \ \left(kyseessä\ bino\min\ neliö\ \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\right)$

$\left(2x\right)^2+2\cdot2x\cdot\left(-3\right)+\left(-3\right)^2=4x^2-12x+9$

$\left(3x-4\right)\left(3x+4\right)=\left(3x\right)^2-4^2=9x^2-16$

nyt kyseessä on summan ja erotuksen tulo

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

Sievennä

$\left(x+3\right)^2+x\left(x+2\right)-2\left(x-3\right)^2=x^2+2\cdot3x+9+x^2+2x-2\left(x^2-2\cdot3x+9\right)$

$=x^2+6x+9+x^2+2x-2x^2+12x-18$
$=18x-9$

Sievennä

$\ \left(5x+2\right)\left(2-5x\right)+\left(5x+2\right)^2=\left(2+5x\right)\left(2-5x\right)+25x^2+2\cdot5x\cdot2+4$

$=4-25x^2+25x^2+20x+4=20x+8$

$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)=3\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$

$=3\left(x^4-1\right)=3x^4-3$

Ratkaise yhtälö

$19-\left(y+2\right)^2=-2\left(y+1\right)\left(y-1\right)+\left(1+y\right)^2$

$19-\left(y^2+4y+4\right)=-2\left(y^2-1\right)+1+2y+y^2$
$19-y^2-4y-4=-2y^2+2+1+2y+y^2$
$-6y=-12\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2$

NELIÖJUURI

Luvun a ≥ 0 (ei negatiivisen luvun a) neliöjuuri, merkitään

$\sqrt{a}$

on luku, joka toteuttaa ehdot:

$1.\ \sqrt{a}\ge0\ \ ja\ \ 2.\ \left(\sqrt{a}\right)^2=a$

$siis\ \sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b\ge0\ \ ja\ \ b^2=a$

esimerkiksi

$\sqrt{25}=5{,}\ sillä\ 5^2=25\ \ ja\ 5\ >0$

$\sqrt{-9}\ \ ei\ ole\ määritelty{,}\ sillä\ -9<0$

Ratkaise yhtälö

$5x^2-80=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2=80\ \ \mid:5$

$\Leftrightarrow\ x^2=16\ \ \parallel\ \sqrt{ }$
$x=\pm\sqrt{16}=\pm4\ \ \ \left(x=4\ tai\ x\ =-4\right)$
$sillä\ 4^2=16\ \ ja\ \left(-4\right)^2=16$

$Yhtälön\ \ x^2=a\ ratkaisut{,}\ kun\ a\ge0\ ovat\ \ x=\pm\sqrt{a}$

$Huom!\ \ Yhtälöllä\ x^2=-8\ ei\ ole\ ratkaisuja{,}\ sillä$

negatiivisesta luvusta ei voida ottaa neliöjuurta eli

$\sqrt{-8}\ \ ei\ ole\ määritelty$

(voidaan myös perustella siten, että koska neliö

$x^2on\ \ aina\ positiivinen\ niin\ x^2=-8\ on\ mahdoton$

Neliöjuuren laskusääntöjä

$1.\ \left(\sqrt{a}\right)^2=a\ \ \ ja\ \ \left(2.\ \sqrt{a^2}=\left|a\right|\ \left(itseisarvo\ a:sta\right)\right)$
$3.\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\ \ {,}4.\ \ \ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$5.\ \sqrt{a}>\sqrt{b}{,}\ jos\ a>b$

Sievennä

$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{8}{25}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4\cdot2}}{5}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\approx$

$2\sqrt{3}\cdot4\sqrt{6}=2\cdot4\cdot\sqrt{3\cdot6}=8\sqrt{9\cdot2}=8\cdot3\sqrt{2}=24\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}-\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}+3\sqrt{3}\approx$

Huom! Nimittäjässä oleva neliöjuuri pyritään murtoluvuissa "laventamaan pois"

Poikkeuksena muotoa

$\frac{1}{\sqrt{a}}\ ei\ välttämättä\ tarvi\ laventaa\ \left(sieventää\right)$

esimerkiksi

$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Kotitehtävät: 170 - 173

Sievennä

$\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$

$\left(\sqrt{5}-1\right)^2+2\sqrt{5}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-\left(2^2-\sqrt{3}^2\right)$

$=5+1-\left(4-3\right)=5$

$\frac{3}{3+\sqrt{6}}=$

Nimittäjässä oleva neliöjuuri "poistetaan" laventamalla

(kokeillaan, jos lavennetaan

$3+\sqrt{6}$

$nyt\ nimittäjään\ tulisi\ \left(3+\sqrt{6}\right)^2=3^2+6\sqrt{6}+\sqrt{6}^2\ \Rightarrow\ eli\ neliöjuuri\ ei\ "häviä"$
$Ainoa\ tapa\ on\ laventaa\ siten{,}\ että\ tulee\ summan\ ja\ erotuksen\ tulo\ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$
$eli\ lavennetaan\ 3-\sqrt{6}$
$\frac{3}{3+\sqrt{6}}=\frac{3\left(3-\sqrt{6}\right)}{\left(3+\sqrt{6}\right)\left(3-\sqrt{6}\right)}=\frac{3\left(3-\sqrt{6}\right)}{3^2-\sqrt{6}^2}=\frac{3\left(3-\sqrt{6}\right)}{3}=3-\sqrt{6}$