*4.5.1 Logaritmiin perustuvia mitta-asteikoita
pH-asteikko
Liuoksen happamuutta kuvaava pH-arvo määritellään liuoksen oksonium- eli [[$\text{H}_3 \text{O}^+$]]-ionien pitoisuuden eli konsentraation [[$c$]] avulla. Oksoniumionien pitoisuus voi vaihdella hyvin pienistä arvoista, kuten 10–14, paljon isompiin lukemiin (esimerkiksi 10–2). Siksi pH mitataan logaritmisella asteikolla, jossa yhden yksikön kasvu merkitsee kymmenkertaistumista oksoniumionien konsentraatiossa.
pH-arvon laskukaava on
[[$$ \text{pH=-lg} [H_3 O^+], $$]] missä merkintä [[$[\text{H}_3 \text{O}^+]$]] tarkoittaa oksoniumionien konsentraatiota [[$c(\text{H}_3\text{O}^+)$]] yksiköissä mol/l (moolia litrassa).
Esimerkki 1
Laske liuoksen pH yhden desimaalin tarkkuudella tapauksissa, joissa oksoniumionikonsentraatio [[$[\text{H}_3\text{O}^+]$]] on a) 10–5 mol/l [[$\quad$]] b) 3,0 [[$\cdot$]] 10–10
Ratkaisu:
Sijoitetaan konsentraatiot kaavaan pH = [[$ -\lg [\text{H}_3 \text{O}^+]$]]
a) pH = [[$-\lg 10^{-5} = -(-5) = 5$]], eli yhden desimaalin tarkkuudella pH = 5,0.
b) pH = [[$-\lg \text{3,0} \cdot 10^{-10} = \text{9,52}...$]], eli yhden desimaalin tarkkuudella pH = 9,5.
Esimerkki 2
Ensimmäisen liuoksen pH on 3,2 ja toisen 4,0. Kumman liuoksen oksoniumionikonsentraatio on suurempi? Kuinka monta prosenttia suurempi se on?
Ratkaisu:
Lasketaan kummankin liuoksen oksoniumionipitoisuudet. Merkitään tuntemattomia pitoisuuksia kirjaimilla [[$x$]] ja [[$y$]].
Ensimmäinen liuos:
[[$\begin{align} -\lg x &= \text{3,2} &&| \cdot (-1) \text{ jätetään logaritmi yksin toiselle puolelle} \\ \lg x &= -\text{3,2} & & |\text{ logaritmin määritelmä } x = \lg b \Leftrightarrow 10^x = b \\ x &= 10^{-3,2} = \text{6,309}... \cdot 10^{-4} &&\end{align}$]]
Toinen liuos:
[[$\begin{align} -\lg y &= \text{4,0} &&| \cdot (-1) \\ \lg y &= -\text{4,0} && |\text{ logaritmin määritelmä } y = \lg b \Leftrightarrow 10^y = b\\ y &= 10^{-4,0} = 10^{-4}(= \text{0,0001}) &&\end{align}$]]
Täten liuoksessa, jonka pH on pienempi, oksoniumionikonsentraatio on suurempi. Verrataan tämän ensimmäisen liuoksen konsentraatiota jälkimmäisen konsentraatioon.
[[$\dfrac{x}{y} = \dfrac{\text{6,309}... \cdot 10^{-4} }{10^{-4}} = \text{6,309}... \approx 631 \, \% $]]
Ensimmäisen liuoksen pitoisuus on noin 630 % toisen liuoksen konsentraatiosta. Se on näin 630 % – 100 % = 530 % suurempi kuin toisessa liuoksessa.
Vastaus: Ensimmäisen liuoksen oksoniumionikonsentraatio on 530 prosenttia suurempi kuin toisen liuoksen.
Maanjäristyksen voimakkuusasteikot
Maanjäristyksen voimakkuutta mitattiin pitkään Richterin asteikolla. Alkuperäinen Richterin kaava esitettiin muodossa [[$M_L = \log \frac{I}{I_0}$]], missä [[$I$]] merkitsee maanjäristyksen intensiteettiä, eli energiamäärää neliömetriä kohti.
Nykyisin voimakkuuden vertailuun käytetään momenttimagnitudia [[$M_W = \frac{2}{3} \lg (\mu S)-\text{10,7}$]], jossa magnitudi lasketaan vaikutusalan [[$S$]] ja materiaalin lujuuden [[$\mu$]] avulla. Seuraavissa laskuissa käytetään järistyksen energiaan perustuvaa asteikkoa [[$M_W = \frac{2}{3}(\lg E - \text{4,8})$]]. Tässä [[$E$]] merkitsee järistyksen energiaa jouleina.
Esimerkki 3
Ratkaisu:
Ratkaistaan energia [[$E$]], kun magnitudilukema [[$M_W = 8,0 $]].
[[$\begin{align}\text{8,0} &=\frac{2}{3} (\lg E -\text{4,8}) &&| \cdot \frac{3}{2} \\ \text{12,0}&= \lg E -\text{4,8} &&|\text{ ratkaistaan logaritmi} \\ \text{16,8} &= \lg E && | a = \lg b \Leftrightarrow b = 10^a &\\ E &= 10^{16,8} = \text{6,30}... \cdot 10^{16} \approx \text{6,3} \cdot 10^{16} &&\end{align} $]]
Vastaus: Vapautuva energia on ollut noin 6,3 [[$\cdot$]] 1016 joulea.
Esimerkki 4
Laske järistyksen voimakkuus momenttimagnitudeina, kun järistysten energiat ovat a) 2,5 [[$\cdot$]] 1014 J, b) 5,0 [[$\cdot $]] 1014 J ja c) 8,0 [[$\cdot$]] 1015 J.
Ratkaisu:
Momenttimagnitudit saadaan suoraan sijoittamalla energia kaavaan [[$M_W = \frac{2}{3}(\lg E-\text{4,8})$]]
a) [[$M_W = \frac{2}{3}(\lg \text{2,5} \cdot 10^{14}-\text{4,8}) = \text{6,39}...\approx \text{6,4}$]]
b) [[$M_W = \frac{2}{3}(\lg \text{5,0} \cdot 10^{14}-\text{4,8}) = \text{6,59}...\approx \text{6,6}$]]
c) [[$M_W = \frac{2}{3}(\lg \text{8,0} \cdot 10^{15}-\text{4,8}) = \text{7,40}...\approx \text{7,4}$]]
Tästä huomataan, että a- ja b-kohdan välillä energiamäärän kaksinkertaistuminen ei kasvata magnitudia kaksinkertaiseksi, vaan magnitudi kasvaa vain noin 0,2 yksikköä.
Sen sijaan a- ja c-kohtien välillä energiamäärä on muuttunut [[$\dfrac{\text{8,0} \cdot 10^{15}}{\text{2,5} \cdot 10^{14}}=32$]]-kertaiseksi. Tällöin magnitudilukema on noussut likimain yhdellä.
