Trigonometriset funktiot 27.4.-10.5.

Oppimisen tavoitteet 

  • Tutustut trigonometrisiin funktioihin: siniin, kosiniin ja tangenttiin 
  • Opit ratkaisemaan suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia trigonometrian avulla.

Arvosanan 8 osaaminen päättöarvioinnissa: 

” Oppilas osaa nimetä ja kuvailla kulmiin ja monikulmioihin liittyviä ominaisuuksia sekä niiden välisiä yhteyksiä.” 

Teoria T1 Trigonometriset funktiot

  • Trigonometriset funktiot ovat lyhenteitä suorakulmaisen kolmion sivujen välisille suhteille (jakolaskuille).
  • Trigonometristen funtioiden avulla voidaan selvittää suorakulmaisen kolmion sivun pituus tai kulman suuruus.
  • Jokaiselle kulman suuruudelle saadaan oma trigonometrisen funktion arvo. Esimerkiksi 30 asteelle saadaan, että sin 30° = 0,5 ja cos 30° = 0,866 ja tan 30° = 0,577.
  • Näin ollen sini, kosini ja tangentti saavat eri arvon, kun kulma on 30 astetta.


Peda.net tehtävät P1 Trigonometriset funktiot

1. Katso yllä olevasta taulukosta mallia ja valitse oikea vastaus kuvan perusteella.

a)





b)





c)





2. Valitse oikea vastaus kuvan perusteella.

a)





b)





c)





3.
Laske laskimella tangenttialfan arvo eli vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin [[$ \tan \alpha= $]]


4. Laske laskimella kosinialfan arvo eli viereisen kateetin suhde hypotenuusaan [[$ \cos \alpha= $]]


5. Laske laskimella sinialfan arvo eli vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan [[$ \sin \alpha= $]]
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.

Peda.net tehtävä P2 Suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteen laskeminen kulman avulla.

Esimerkki. Lasketaan sivujen pituuksien suhde, kun kulma on 45°. Tällöin saadaan laskimesta cos 45° [[$=0,707106... \approx 0,707 $]].
Lukema tarkoittaa, että viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde on 0,707. Tämä toteutuisi esimerkiksi hypotenuusan ollessa 1 ja kulman viereisen kateetin ollessa 0,707, koska cos 45°[[$ =\frac{0,707}{1} = 0,707.$]]

Laske laskimen avulla (puhelimen laskimella trigonometriset funktiot tulevat näkyviin, kun kääntää puhelimen poikittain). Ilmoita vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. Huom! Tarkista, että puhelimen laskimessa on käytössä merkintä Deg toisin sanoen laskimen näytössä pitäisi olla merkintä Rad). Mikäli laskimestasi ei löydy kyseistä toimintoa, etsi vastaus kirjan sivun 226 taulukosta.

a) sin 30°=

b) sin 85°=

c) sin 6°=

d) cos 30°=

e) cos 12°=

f) cos 65°=

g) tan 30°=

h) tan 10°=
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.

Peda.net tehtävä P3 Kulman suuruuden laskeminen sivujen pituuksien suhteen avulla.

Esimerkki. Vastakkaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin eli tan [[$ \alpha $]] on 0,8. Mikä on kulman [[$ \alpha $]] suuruus?

Tässä tehtävässä tarvitset trigonometristen funktioden käänteisfunktioita. Kun tiedetään sivujen pituuksien suhde, voidaan käänteisfunktioiden avulla määrittää kulman suuruus.

Laskimesta tangenttifunktion käänteisfunktion avulla saadaan

tan [[$ \alpha =0,8$]]

[[$ \alpha =$]] tan [[$ ^{-1}(0,8) = 38,6598... \approx 38,7$]]°

Huom! Tarkista, että puhelimen laskimessa on käytössä merkintä Deg toisin sanoen laskimen näytössä pitäisi olla merkintä Rad). Käänteisfunktiot saat näkyviin puhelimen laskimesta painamalla Inv-näppäintä. (Mikäli laskimestasi ei löydy kyseistä toimintoa, etsi vastaus kirjan sivun 226 taulukosta).

Laske laskimella kulman α suuruus kymmenesosan tarkkuudella, kun

a) sin α = 0,5 [[$\quad \alpha= $]]°

b) sin α = 0,888 [[$\quad \alpha= $]]°

c) tan α = 0,5 [[$\quad \alpha= $]]°

d) tan α = 0,2 [[$ \quad \alpha= $]]°

e) cos α= 0,75 [[$\quad \alpha= $]]°

f) cos α= 0,1 [[$\quad \alpha= $]]°

g) sin [[$ \alpha= \frac{3}{6}$]] [[$\quad \alpha= $]]°

h) cos [[$ \alpha= \frac{3}{6}$]] [[$\quad \alpha= $]]°
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.

Teoria T2 suorankulmaisen kolmion sivun pituuden laskeminen trigonometristen funktioden avulla

Pythagoraan lauseen avulla pystyimme selvittämään suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituuden, kun tunnettiin kaksi suorakulmaisen kolmion sivua.

Trigonometristen funktioiden avulla suorakulmaisen kolmion sivun pituus voidaan selvittää, kun tunnetaan yhden sivun pituus ja toisen terävän kulman suuruus.


Ohje:

1. Piirrä tehtävän tilanteesta kuva ellei sitä ole valmiina.
2. Merkitse tuntematonta sivun pituutta muuttujalla (usein x:llä).
3. Tunnista mikä on terävän kulman suuruus.
4. Tunnista mitkä sivun pituudet on merkitty kuvaan (terävän kulman viereinen/vastainen kateetti tai hypotenuusa).
5. Tunnista mitä funktiota pitää tehtävässä käyttää (sini, kosini, tangentti).
6. Muodosta funktion mukainen yhtälö ja ratkaise sivun pituus eli tuntematon x aikaisemmilta kursseilta tutulla tavalla..

Esimerkki 1. Ratkaise sivun x pituus.


Ratkaisu: 

1. Kuva on jo valmiina.
2. Tuntematon sivu on merkittu jo valmiiksi.
3. Funktio pitää määrittää aina terävästä kulmasta katsottuna, nyt kulmasta 35°.
4. Kuvasta nähdään, että kulman 35° vastainen kateetti on tuntematon x ja pisin sivu eli hypotenuusa on 8.
5. Trigonometrinen funtio, jossa mainitaan kulman vastainen kateetti ja hypotenuusa on sini.
6. Muodostetaan sinifunktio kulmasta 35°, jolloin voidaan kirjoittaa

sin 35° [[$ = \frac{x}{8}. $]]​ 

Ratkaistaan yhtälöstä x kuten olemme jo aikaisemmilta kursseilta oppineet eli aloitetaan kertomalla molemmat puolet luvulla 8.

sin 35° [[$ = \frac{x}{8} \quad $]]​ || [[$ \cdot 8 $]]​

[[$ 8 \cdot $]]​sin 35° [[$ = x $]]​

[[$ 4,588611... = x $]]​

[[$ x \approx 4,6 $]]​


Esimerkki 2. Suorakulmaisen kolmion 20° kulman viereinen kateetti on 5cm. Ratkaise kolmiosta hypotenuusan pituus.

Ratkaisu: 

1. Piirretään mallikuva.
2. Merkataan tuntematonta hypotenuusaa kirjaimella x.


3. Funktio pitää määrittää aina terävästä kulmasta katsottuna, nyt kulmasta 20°.
4. Kuvasta nähdään, että kulman 20° viereinen kateetti on tuntematon 5 cm ja pisin sivu eli hypotenuusa on x.
5. Trigonometrinen funtio, jossa mainitaan kulman viereinen kateetti ja hypotenuusa on kosini.
6. Muodostetaan kosinifunktio kulmasta 20°, jolloin voidaan kirjoittaa

cos 20° [[$ = \frac{5}{x}. $]]​ 

Ratkaistaan yhtälöstä x kuten olemme jo aikaisemmilta kursseilta oppineet eli aloitetaan kertomalla molemmat puolet luvulla x.

cos 20° [[$ = \frac{5}{x} \quad $]]​ || [[$ \cdot x $]]​

[[$ x \cdot $]]​cos 20° [[$ = 5 $]]​ || : cos 20°

[[$ x = \frac{5}{cos 20°} $]]​

[[$ x \approx 5,3 $]]​

Vastaus: Hypotenuusan pituus on 5,3 cm.

Peda.net tehtävä P4 suorankulmaisen kolmion sivun pituuden laskeminen trigonometristen funktioden avulla

Vastaa kysymyksiin kuvan perusteella.



a) Mikä on kolmion suurimman kulma suuruus? °
b) Mikä on kolmion toisiksi suurimman kulma suuruus? °
c) Mikä on kolmion piemimmän kulma suuruus? °
d) Mikä on 30° kulman vastakkaisen sivun pituus?
e) Mikä on 30° kulman viereisen sivun pituus?
f) Mikä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusen pituus?
d) Millä trigonometrisella funktiolla voit laskea sivun x pituuden 30° kulman avulla?




e) Laske vihkoosi laskimella hypotenuusan pituus kahden desimaalin tarkkuudella.
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.