Pythagoraan lause

Oppimisen tavoitteet 

  • Syvennät taitoasi ratkaista 2. asteen yhtälöitä.
  • Opit selittämään Pythagoraan lauseen pinta-alojen avulla.
  • Opit hyödyntämään Pythagoraan lausetta geometrisissä ongelmissa 

    Arvosanan 8 osaaminen päättöarvioinnissa: 
    " Oppilas osaa käyttää Pythagoraan lausetta ja trigonometriaa suorakulmaisen kolmion osien ratkaisemiseen" 

 

Teoria T1 Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisella kolmiolla on omat nimitykset kolmion sivuille:
  • sivut a ja b ovat kateetteja
  • sivu c on hypotenuusa
Hypotenuusan tunnistaa siitä, että se on suorakulmaa vastapäätä oleva sivu.

Suorakulmaisen kolmion pinta-alan voit laskea kaavalla

[[$ A=\frac{kanta \cdot korkeus}{2} = \frac{kateetti \cdot kateetti}{2}=\frac{a\cdot b}{2} $]]​




Peda.net tehtävä P1 Suorakulmainen kolmio

Tutki yllä olevaa kuvaa 1 ja vastaa seuraaviin kysymyksiin. Lähetä lomake lopuksi ja vertaa omia vastauksia oikeisiin vastauksiin.

1. Mikä on kuvassa 1 olevan suorakulmaisenkolmion

a) sivun a nimitys?

b) sivun c nimitys?

c) sivun b nimitys?

2. Kateetit (sivut a ja b) muodostavat asteen kulman.

3. Pituudeltaan hypotenuusa c on kolmion sivuista .

4. Kulmat β ja γ ovat yhteensä astetta. Miksi?

5. Suorakulmaisesta kolmiosta hypotenuuden tunnistaa, koska se sijaitsee .
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.

Peda.net tehtävä P2 Pythagoraan lause

Tutki yllä olevaa kuvaa 2 ja vastaa seuraaviin kysymyksiin. Lähetä lomake lopuksi ja vertaa omia vastauksia oikeisiin vastauksiin.

1. Laske, mikä on kuvion 1 pinta-ala.

2. Laske, mikä on kuvion 2 pinta-ala.

3. Laske, mikä on kuvion 3 pinta-ala.

4. Mikä on kuvioiden 2 ja 3 yhteenlaskettu pinta-ala?

5. Laske, mikä on kuvion 4 pinta-ala.

6. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion kateeteille piirrettyjen neliöden pinta-alojen summa on hypotenuusalle piirretyn neliön summa. Pitääkö lause paikkansa kuvan 2 tilanteessa?



7. Erään kolmion sivun pituudet ovat 2, 4 ja 5.
a) Mikä on lyhimmälle sivulle piirretyn neliön pinta-ala?
b) Mikä on keskimmäiselle sivulle piirretyn neliön pinta-ala?
c) Mikä on pisimmälle sivulle piirretyn neliön pinta-ala?
d) Toteutuuko Pythagoraan lause?


e) Onko kolmio suorakulmainen?

Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.

Teoria T2 Pythagoraan lause

Pythagoraan lause:
  • kateetin neliöiden summa on hypotenuusan neliö eli
  • kateetin neliö + kateetin neliö = hypotenuusan neliö 


Matemaattisena kaavana: [[$ 𝒂^𝟐+𝒃^𝟐=𝒄^𝟐 $]]​












Esimerkki: Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 6 ja 8. Laske hypotenuusan pituus x.

Ratkaisu: Merkataan Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö kateetin neliö + kateetin neliö = hypotenuusan neliö

[[$ 6^2 + 8^2 = x^2 $]]​ eli

[[$ 36+64=x^2 $]]​

[[$ 100 = x^2 $]]​, josta päättelmällä tai neliöjuuren avulla saadaan ratkaisuksi

[[$ 10 = x $]]​ tai  [[$ -10 = x $]]​

Yleensä merkitään ensin kirjaimet eli muuttujat, joten

[[$ x = 10 $]]​ tai  [[$ x = -10 $]]​

Huom! [[$ -10 \cdot (-10) =100 $]]

Vastaus: Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten hypotenuusan pituus on 10.

Opetusvideot

Videon toisessa esimerkissä saadaan vastaukseksi [[$ \sqrt{45} $]]​. Meidän tapauksessa tämä syötetään laskimeen, jolloin saadaan vastaukseksi [[$ \sqrt{45} = \pm 6,70820399325... \approx \pm 6,7 $]]​. Numeron 9-10 tavoittelijat voivat pohtia tarkemmin tarkan arvon sieventämistä, kuten videossa tehtiin.


​​


Perustehtävien tekijöille riittää ymmärtää video esimerkkeihin a) ja b) saakka. 9-10 tavoittelijat voivat pohtia tarkemmin esimerkkiä c).

​

Peda.net tehtävä P3 Laskuja Pythagoraan lauseesta

Tutustu yllä olevaa teoriaan T2 Pythagoraan lauseesta ja vastaa seuraaviin kysymyksiin. Lähetä lomake lopuksi ja vertaa omia vastauksia oikeisiin vastauksiin.

1. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5,12 ja hypotenuusa 13.
a) Laske ensimmäisen kateetin neliö.
b) Laske toisen kateetin neliö.
c) Laske kateettien neliöiden summa.
d) Laske hypotenuusan neliö.
e) Mitä havaitset?


2. Laske suorakulmaisen kolmion kateetin pituus, kun toinen kateetti on 8 ja hypotenuusa on 10. Pythagoraan lauseen mukaan voidaan siis kirjoittaa [[$ x^2+8^2=10^2 $]]

3. Laske alla olevasta kuvasta 2 tuntemattoman sivun pituus yhden desimaalin tarkkuudella. Pythagoraan lauseen mukaan [[$ A_1 +A_2 = A_3 $]] eli [[$ 6^2+9^2=x^2 $]].
Roskapostituksen esto
Valitse mikä tahansa numero, joka on suurempi kuin 2.