Normaalijakauma

Normaalijakauma on jatkuvista jakaumista yleisin ja tunnetuin.

Kun satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ (keskiarvo) ja σ (keskihajonta), merkitään

X ∼ N(µ, σ).

Tiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen µ:n suhteen eli µ kertoo jakauman keskikohdan.

Kuvan tiheysfunktiossa µ = 15 ja σ = 3 eli X ∼ N(15, 3)

$Normaalijakauman\ tiheysfunktiota\ merkitään\ \varphi\left(x\right)\ ja\ \ker tymäfunktiota\ \Phi\left(x\right)$

$Huom!\ P\left(X\lt a\right)=\Phi\left(a\right){,}\ P\left(X\ge b\right)=1-\Phi\left(b\right){,}\ P\left(a\le X\le b\right)=\Phi\left(b\right)-\Phi\left(a\right)$

Normaalijakauman X ∼ N(µ, σ) tiheysfunktio

$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}}$

$Nyt\ \ker tymäfunktio\ \Phi\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{^{-\frac{\left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}}dt$

Normaalijakauman todennäköisyyksiä voidaan laskea

1. Geogebran todennäköisyyslaskurilla, johon syötetään jakauman µ ja σ

2. Symbolisen laskennan esim geogebran integraalitoiminnalla

3. Taulukoitujen kertymäfunktion arvojen perusteella, taulukkokirjan avulla

Taulukoidussa arvoissa on käytetty normitettua normaalijakaumaa, jossa µ = 0 ja σ =1 eli normitetun normaalijakauman

$tiheysfunktio\ on\ \varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{^{-\frac{x^2}{2}}}\ ja\ \ker tymäf\ \ \Phi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{^{-\frac{t^2}{2}}}dt$

Tiheysfunktio kuvaaja, kun X ∼ N(0, 1)

Esimerkkejä löytyy taulukkokirjasta.

Usein normaalijakaumassa µ ≠ 1 ja σ ≠ 0 eli yleisille normaalijakaumille X ∼ N(µ, σ). Tällöin todennäköisyydet lasketaan normitetun satunnaismuuttujan Z avulla, jolloin Z ∼ N(0, 1)

Satunnaismuuttujan normittaminen

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Esim jos X ∼ N(28, 6) niin

$P\left(X\lt 35\right)=\Phi\left(\frac{35-28}{6}\right)=\Phi\left(\frac{7}{6}\right)=\Phi\left(1{,}17\right)=0{,}8790$

$P\left(24\le X\le30\right)=$