2. Epäoleellinen raja-arvo ja integraali

Epäoleellinen raja-arvo

Kun lasketaan erityisesti murtofunktion raja-arvoa kohdassa jossa funktio ei ole määritelty, saadaan raja-arvoksi

- ∞ (ääretön), jolloin funktion arvot kasvavat rajatta tai

- -∞ (miinus ääretön), jolloin funktion arvot pienenevät koko ajan lähestyen -∞

Tällaisia raja-arvoja kutsutaan epäoleelliseksi raja-arvoksi, jotka ovat muotoa

$\frac{vakio}{0}$

esim funktiolla

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\$

määrittelyehto on x ≠ 1. Määritä sekä kuvaajan perusteella että laskemalla

$\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1$
$kuvaajan\ perusteella\ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty\ \ ja\ \lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty$

$\Rightarrow\ \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\ ei\ ole$

Laskemalla tai ilman kuvaajaa päättelemällä

$\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{1}{x-1}\ on\ muotoa\ \frac{1}{0}\ \ eli\ raja-arvoksi\ tulee\ \pm\infty$

$\begin{array}{l|l} x-1\ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ \ \ +\\ \hline \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty&\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty \end{array}$

Huom! Murtofunktiolla on pystysuora asymptootti nimittäjän nollakohdassa tai nollakohdissa.

$Esim\ funktion\ f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1\ \ pystysuora\ asymptootti\ on\ suora\ x\ =\ 1$

Asymptootti on suora, jota funktion kuvaaja lähestyy.