453

Osoita, että $x-\sin x=5$ on täsmälleen yksi ratkaisu

Bolzanon lause:

funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä ]a,b[, jos

funktio on jatkuva suljetulla välillä [a,b]

funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset

$x-\sin x=5$
$x-\sin x-5=0$

tutkitaan funktiota $f\left(x\right)=x-\sin x-5$

yhtälöllä $x-\sin x=5\$ jos funktiolla $f\left(x\right)$ on täsmälleen yksi nollakohta

Katsotaan Bolzanon lauseen avulla onko funktiolla yhtään nollakohtaa esimerkkivälillä ]π, 2π[

$f\left(\pi\right)=\pi-5<0$
$f\left(2\pi\right)=2\pi-5>0$

funktiolla on siis ainakin yksi nollakohta

tutkitaan funktion monotonisuutta

$f'\left(x\right)=1-\cos x$

koska $-1\le\cos x\le1$ , niin $f'\left(x\right)\ge0$ , joten funktio on kasvava

kasvavalla funktiolla voi olla korkeintaan 1 nollakohta

funktiolla $f\left(x\right)$ on toisaalta ainakin yksi 1 nollakohta

nollakohtia on tasan 1
myös yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu