3.2 Pistetulo

VEKTOREIDEN PISTETULON TULOS ON LUKU, EI VEKTORI

ESIM

$\overline{a}=3\overline{\text{i}}-7\overline{\text{j}}+14\overline{\text{k}}$
$\overline{b}=\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}-k$

Laske pistetulo

$\overline{a}\cdot\overline{b}=3\cdot1+\left(-7\right)\cdot3+14\cdot\left(-1\right)=3-21-14=-32$

Pistetulon avulla saadaan vektoreiden välinen kulma

$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}=$

Koska

$\cos90°=0$
, niin vektorit ovat kohtisuorassa täsmälleen silloin kun niiden välinen pistetulo on 0

ESIM

lasketaan vektoreiden välinen kulma

$\overline{a}=3\overline{\text{i}}-7\overline{\text{j}}+14\overline{\text{k}}$
$\overline{b}=\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}-k$

Pistetulo laskettiin jo edellisessä esimerkissä, -32

lasketaan vektoreiden pituudet

$\left|\overline{a}\right|=\sqrt{3^2+\left(-7\right)^2+14^2}=\sqrt{254}$
$\left|\overline{b}\right|=\sqrt{1^2+3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{11}$
$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{-32}{\sqrt{254}\cdot\sqrt{11}}=-0{,}60539...$
$\cos^{-1}\left(-0{,}60539...\right)=127{,}2570...°\approx127{,}3°$