Kpl.14

14-2

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh=\frac{1}{2}mv^2$

$gh=\frac{1}{2}v^2$
$2gh=v^2$
$v=\sqrt[]{2gh}=\sqrt[]{2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot25m}=22{,}147...\approx22\ \frac{m}{s}$

14-4
a)

$m=170g=0{,}17kg$

$v=85\ \frac{km}{h}=23{,}611...\approx\frac{m}{s}$
$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot0{,}17kg\cdot23{,}611^2\ \frac{m}{s}=47{,}38...\approx47\ J$
b)

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh_a+\frac{1}{2}mv^2+Fs=mgh_l+\frac{1}{2}mv^2$

$\frac{1}{2}mv^2+Fs=0$
$F=-\frac{\frac{1}{2}mv^2}{s}=-0{,}1895...\approx-0{,}19N$
14-5
a)

$h_a=17m$

$h_l=0m$
$v_a=16\ \frac{km}{h}=4{,}444...\approx4{,}444\ \frac{m}{s}$
$v_l=?$

$m=85\ kg$
$W=-8{,}1\ kJ=-8100J$

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+W=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2$

$mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+W=\frac{1}{2}mv_l^2$

$2mgh_a+mv_a^2+2W=mv_l^2$

$v_l=\sqrt[]{\frac{mv_a^2+2\left(W+mgh_a\right)}{m}}=45{,}92009...\approx46\ \frac{km}{h}$
b)

14-6

$h_a=66m$

$h_l=0m$
$v_a=0$
$v_l=101\ \frac{km}{h}=\frac{101}{3{,}6}\ \frac{m}{s}$

$m=71\ kg$
$W=?$

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh_a+0+W=0+\frac{1}{2}mv_l^2$

$W=\frac{1}{2}mv_l^2-mgh_a=\frac{1}{2}\cdot71kg\cdot\left(\frac{101}{3{,}6}\right)^2-71kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot66m=-180287{,}10599J\approx-18000J=-18kJ$

14-7

$m=73\ kg$

$h_a=8{,}0\ m$

$v_a=2{,}5\ \frac{m}{s}$

$v_l=?$

$s=35\ m$

$F=-55N$
Valitaan ,että mäen alla on potentiaalienergian nollataso eli $h_l=0m$

Liikettä vastustava voima muuttaa mekaanista energiaa lumen, lumilaudan ja ilman sisäenergiaksi.

Mekaniikan energianperiaatteen mukaan

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+Fs=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2$
$mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+Fs=\frac{1}{2}mv_l^2$

$v_l=\sqrt[]{\frac{2Fs+m\left(v_a^2+2gh_a\right)}{m}}$

$v_l=\sqrt[]{\frac{2\cdot\left(-55N\right)\cdot35m+73kg\left(\left(2{,}5\ \frac{m}{s}\right)^2+2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot8{,}0m\right)}{73kg}}=10{,}510484\ \frac{m}{s}\approx11\ \frac{m}{s}$

14-8

$m=1200kg$

$h_a=9{,}5\ m$

$v_a=18\ \frac{m}{s}$

$v_l=?$

$W=Fs=750N\cdot60m=45000J$

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$0+\frac{1}{2}mv_a^2+W=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2$

$\frac{1}{2}mv_l^2=\frac{1}{2}mv_a^2-W-mgh_l$

$E_{k{,}l}=\frac{1}{2}1200kg\cdot18\ \frac{m}{s}-45000J-1200kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot9{,}5m=37566J\approx38kJ$

14-9
a)

$m=20kg$

$h_a=3{,}0m$

$h_l=0m$

$v_a=5{,}0\frac{m}{s}$

$v_l=5{,}0\ \frac{m}{s}$

$W=?$

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$mgh_a+W=\frac{1}{2}mv_l^2$

$W=\frac{1}{2}mv_l^2-mgh_a=\frac{1}{2}\cdot20kg\cdot5{,}0^2\ \frac{m}{s}-20kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot3{,}0m=-338{,}6J\approx-340J$
b)

$\mu=0{,}77$

$s=?$

$v_a=5{,}0\ \frac{m}{s}$
$W=F_{\mu}s=\mu Ns$

$\Sigma\overline{F}=\overline{0}$

$\overline{N}+\overline{G}=\overline{0}\ \leftrightarrow\ \overline{N}=\overline{G}$
$W=F_{\mu}s=\mu Ns=\mu Gs=\mu mgs$

$E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}$

$E_{k{,}a}+W=0$

$E_{k{,}a}-W=0$
$W=E_{k{,}a}$
$\mu mgs=\frac{1}{2}mv_a^2$
$s=\frac{\frac{1}{2}mv_l^2}{F_{\mu}}=\frac{\frac{1}{2}mv_l^2}{\mu mg}=\frac{v^2}{2\mu g}=\frac{\left(5{,}0\ \frac{m}{s}\right)^{^2}}{2\cdot0{,}77{,}9{,}81\ \frac{m}{s^2}}\approx1{,}7m$