Kpl.10

10-3
a) Painonnostokilpailussa painoja on helpompi nostaa, jos painot ovat yhtä suuret ja tangon eri päissä. Painopiste on tangon geometrisessä keskipisteessä. Painonnostaja pyrkii asettamaan kätensä yhtä kauas tangon painopisteestä (geometrisestä keskipisteestä).
b) Painonnostossa käytetään leveää otetta, jolloin tanko on mahdollisimman helppo pitää tasapainossa. Raskaat levyt tangon päissä aiheuttavat suuren momentin tankoon. Jos kädet olisivat lähekkäin, pienikin ero käsien ja tangon keskipisteen välisissä etäisyyksissä aiheuttaisi suuren eron vasempaan ja oikeaan käteen kohdistuvissa voimissa. Samoin pienikin tangon kiertoliike tangon keskipisteen ympäri noston aikana olisi vaikea pysäyttää, nostaja menettäisi helposti tasapainonsa sivusuunnassa.

10-4
Joidenkin kukkien, esimerkiksi tulppaanien, varsi kasvaa nopeasti maljakossa. Samalla maljakon pohjalla oleva vesi vähenee sen noustessa varteen. Kukat voivat taipua kasvaessaan kauas reunan yli, ja kukkaasetelman painopiste muuttuu. Maljakon, veden ja kukkien yhteinen painopiste voi siirtyä maljakon kapean pohjan tukipinnan ulkopuolelle, varsinkin jos kukat taipuvat samaan suuntaan. Näin maljakko voi kaatua itsestään.

10-7
Tasapaksuun hirteen kohdistuva paino vaikuttaa hirren painopisteeseen eli keskipisteeseen. Hirren tasapainoehto pystysuunnassa on $\Sigma\overline{F}=\overline{0}$ eli $\overline{F}_1+\overline{F}_2+\overline{G}=\overline{0}$ . Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö $F_1+F_2-G=0$ .

Vasemmanpuoleisen tukivoiman $\overline{F}_1$ vaikutuskohta on A. Valitaan kohta A momenttiakseliksi. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, akselin A suhteen momenttiyhtälö on $\Sigma M_A=-G\cdot r+F_2\cdot r=0$
Tukivoiman $\overline{F}_2$ suuruus on
$F_2=\frac{mgr_1}{r_2}=\frac{140kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot1{,}0m}{3{,}0m}=457{,}8N$
Tukivoman $\overline{F}_1$ suuruus saadaan yhtälöstä $F_1+F_2-G=0$ , joten $F_1=G-F_2=mg-F_2=140kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}-457{,}8N\approx915{,}4N$
Voimat ovat 460N ja 920N

10-9

$m=78kg$

$l=4{,}5m$

$\alpha=45°$

$\overline{T}$ : Väijerin jännitysvoima

$\overline{G}$ : Painovoima

$\overline{F}$ : Saranan tukivoima

Tasapainoehto etenemisen suhteen x-suunnassa

$\Sigma\overline{F}=\overline{0}$

$\overline{T}+\overline{F}_x=\overline{0}$
$F_x-T=0$

$F_x=T$

Tasapainoehto etenemisen suhteen y-suunnassa

$\Sigma\overline{F}=\overline{0}$
$\overline{G}+\overline{F}_y=\overline{0}$
$F_y-G=0$
$F_y=G=mg$

Tasapainoehto pyörimisen suhteen

$\Sigma M_A=0$

$M_T-M_G-M_F=0$
$Tr_T-Gr_G-Fr_F=0$

$Tr_T=Gr_G$

$\sin\alpha=\frac{r_T}{l}$

$r_T=l\sin\alpha$

$\cos\alpha=\frac{r_G}{\frac{l}{2}}$

$Tr_T=Gr_G$
$T=\frac{Gr_G}{r_T}=\frac{mg\cdot\frac{l}{2}\cdot\cos\alpha}{l\cdot\sin\alpha}=\frac{78kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\frac{4{,}5m}{2}\cdot\cos45°}{4{,}5\cdot\sin45°}=382{,}59N$

$F_x=T=382{,}59N$
$F_y=G=mg=78kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=765{,}18N$
$F=\sqrt[]{F_x^2+F_y^2}=\sqrt[]{382{,}59^2+765{,}18^2}=855{,}49...\approx860N$

Voiman suunta

$\tan\alpha=\frac{F_y}{F_x}=\frac{765{,}18N}{382{,}59N}=2$
$\alpha\approx63°$

10-11

Lankun alapäässä vaikuttavat lattian tukivoima $\overline{N}_1$ ja kitka $\overline{F}_{\mu1}$ . Yläpäässä lankkuun kohdistuu seinän tukivoima $\overline{N}_2$ ja koska seinä oletettiin liukkaaksi, kitka $F_{\mu_2}\approx0N$ . Lankun painopisteessä vaikuttaa lankkuun kohdistuva paino $\overline{G}$

Tasapainoehto etenemisen suhteen pystysuunnassa on Newtonin II lain perusteella $\Sigma\overline{F}_y=\overline{0}$ eli $\overline{N}_1+\overline{G}=\overline{0}$ . Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälöstä $N_1-G=0$ saadaan $N_1=G$ .

Tasapainoehto vaakasuunnassa on Newtonin II lain perusteella $\Sigma\overline{F}_x=\overline{0}$ eli $\overline{N}_2+\overline{F}_{\mu1}=\overline{0}$ . Kun suunta oikealle on positiivinen, skalaariyhtälöstä $N_2-F_{\mu1}=0$ saadaan $N_2=F_{\mu1}=\mu N_1=\mu G$

Asetetaan momenttiakseli pisteeseen A. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, tasapainotilanteessa momenttien summa akselin A suhteen on $\Sigma M_A=0$ eli $-N_2a+G\cdot\frac{1}{2}b=0$ .Koska $N_2=\mu G$
momenttiehto $-N_2a+G\cdot\frac{1}{2}b=0$ saadaan muotoon $-\mu Ga+G\cdot\frac{1}{2}b=0$ eli $-\mu a+\frac{1}{2}b=0$ ,
josta saadaan $\frac{b}{a}=2\mu$ .
Toisaakta suorakulmaisen kolmion trigonometrian perusteella on
$\tan\theta=\frac{b}{a}$ , joten yhtälöstä
$\tan\theta=\frac{b}{a}=2\mu=2\cdot0{,}42=0{,}84$
saadaan kulma $\theta\approx40°$