Teoria

Pohjatunti

$m_1=10kg$
$m_{2\ }=15kg$
$F=70N$

Koska naru on kevyt ja venymätön, jännitysvoimat ovat yhtä suuret $\left|\overline{\text{T}}_1\right|=\left|\overline{\text{T}}_2\right|=T$

Koska köysi ei veny, pulkkien kiihtyvyydet ovat samat $\left|\overline{a}_2\right|=\left|\overline{a}_2\right|=a$

Newtonin II lain mukaan pulkkien liikeyhtälöt ovat

Pulkka 1: $\Sigma\overline{F}=m_1\overline{a}$ eli $\overline{N}_1+\overline{G}_1+\overline{F}+\overline{T}=m_1\overline{a}$

Pulkka 2: $\Sigma\overline{F}=m_2\overline{a}$ eli $\overline{N}_2+\overline{G}_2+\overline{T}=m_2\overline{a}$

y-akselin suunnassa $\Sigma\overline{F}=\overline{0}$ joten $\overline{N}_1+\overline{G}_1=\overline{0}$ ja $\overline{N}_2+\overline{G}_2=\overline{0}$ . Otetaan suunnat huomioon, jolloin liikeyhtälöt ovat

Pulkka 1: $F-T=m_1a$

Pulkka 2: $T=m_2a$

$F-m_2a=m_1a$

$F=m_1a+m_2a$
$F=a\left(m_1+m_2\right)$
$a=\frac{F}{\left(m_1+m_2\right)}=\frac{70N}{\left(10kg+15kg\right)}=2{,}8\ \frac{m}{s^2}$

Jännitysvoima on:

$T=2{,}8\ \frac{m}{s^2}\cdot15kg=42N$

Kpl.12

Esim. Auton kokonaismassa 1310kg ja nopeus 85 km/h. Jarruttavan kokonaisvoiman tekemä työ on 183 kJ. Mikä on auton nopeus jarrutulsen jälkeen?

$m=1310\ kg$

$v=85\ \frac{km}{h}$

$W=-183kJ$

Koska työn tekee jarruttava voima, on voima suunta vastakkainen etenemiseeen nähden, W<0.

Työn suuruus on yhtä suri kuin liike-energian muutos ei

$W=\Delta E_k=E_{k{,}l}-E_{k{,}a}$
$W=\frac{1}{2}mv_l^2-\frac{1}{2}mv_a^2$
$2W=mv_l^2-mv_a^2$
$mv_l^2=2W+mv_a^2$
$v_l^2=2W+mv_a^2$
$v_l=\sqrt[]{\frac{2W+mv_a^2}{m}}=\sqrt[]{\frac{2\cdot\left(-183\cdot10^3J\right)+1310kg\cdot\left(\frac{85}{3{,}6}\ \frac{m}{s}\right)}{1310kg}}\approx16{,}6762\ \frac{m}{s}\approx60\ \frac{km}{h}$

Kpl.9

Esim. Laske kappaleeseen kohdistuva kokonaismomentti, kun kiertoakselina on

a) A b)B

a)Kiertoaksleli A

Voimalla $F_1$ on $r_1=0$ , joten $M_{A1}=0Nm$
Vomalla $G$ on $r_G=1{,}5m$
$M_{AG}-G\cdot r_G=-mgr_G=-7{,}2kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot15m=-105{,}948Nm$
Voimalla $F_2$ on $r_2=3{,}0m$

$M_{A2}=+F_2r_2=42N\cdot3m=126Nm$
$M_{kokA}=M_{AG}+M_{A2}=-105{,}948Nm+126Nm\approx20Nm$

b) kiertoakseli B

Painolle on $M_{BG}=0$

Voimalle $F_2$ on $M_{B2}=+F_2r_2=42N\cdot1{,}5m=63Nm$

Voimalle $F_1$

$\sin\alpha=\frac{r_1}{1{,}5m}\ \rightarrow\ r_1=1{,}5m\cdot\sin\alpha$

$M_{B1}=-F_1r_1=-60N\cdot1{,}5m\cdot\sin43°=-61{,}39985N$
$M_{kok_1B}=M_{B2}+M_{B1}=63Nm-61{,}37985Nm\approx1{,}6Nm$

Kpl.8

$\rho_{jää}=920\ \frac{kg}{m^3}$
$\rho_{vesi}=1030\ \frac{kg}{m^3}$

Olkoon kuution tahkon pinta.alan A ja sivun pituus h.

$V_k=64\ m^3$

$V_k=h^3$ ¨

$h=\sqrt[3]{64\ m^3}=4\ m$

x= Vedenpinnan alapuolela olevan sivun pituus

Vedenpinnan alapuolella olevan jääpalan tilavuus

$V_a=h^2x=Ax$
$\Sigma\overline{F}=\overline{0}\ \leftrightarrow\ N+G_{jää}=0$
$-N+G=0$
$G=N$
$G=m_{jää}g$
$N=\rho_{vesi}V_ag\$
$m_{jää}g=\rho_{vesi}V_ag\ \ \ \ \ \left|\right|:g$
$m_{jää}=\rho_{vesi}V_a\ \ \ \ \ \left|\right|m_{jää}=\rho_{jää}V_k$
$\rho_{jää}V_k=\rho_{vesi}V_a$
$\rho_{jää}V_k=\rho_{vesi}Ax$
$\rho_{jää}A=\rho_{vesi}Ax$
$\rho_{jää}h=\rho_{vesi}x$
$x=\frac{\rho_{jää}h}{\rho_{vesi}}=\frac{920\ \frac{kg}{m^3}\cdot4m}{1030\ \frac{kg}{m^3}}\approx3{,}57242m$
$V_a=h^2x=\left(4m\right)^2\cdot3{,}57242m\approx57{,}1651m^3$

Pinnan yläpuolella on tilavuudesta:

$64m^3-57{,}16151m^3=6{,}8349m^3$

eli $\frac{6{,}8349}{64}\cdot100\%\approx11\%$

Kpl.6

6. Voimien yhteisvaikutus

Jos kappaleesee vaikuttaa useita voimia voimat voidaan yhdistää kokonaisoimaksi:

Kohtisuorien voimien $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ resultantin suuruus lasketaan pythagoraan lauseella: $F=\sqrt{F_1^2+F_1^2}$

Ja suuntakulma α yhtälöstä $\tan\alpha=\frac{F_2}{F_1}$

Eri suuntiin osoittavien useiden voimien yhteisvaikutus saadaan piirtämällä voimavektorit peräläin ja yhdistämällä alkupiste viimeisen vektorin kärkeen: