Kpl.15

15-1
a)

$\ \overline{p}=m\overline{v}=89kg\cdot8{,}9\ \frac{m}{s}=712Ns$

$\overline{p}_1=\overline{p}_2$

$\overline{p}_1=712Ns$
$\overline{p}_2=m\overline{v}_2$

$m\overline{v}_2=712Ns$
$105kg\cdot\overline{v}_2=712Ns$
$\overline{v}_2=6{,}7809...\approx6{,}8\ \frac{m}{s}$

15-2
Impulssien suuruudet saadaan kuvaajista graafisella integroinnilla eli arvioimalla kuvaajien ja t-akselin väliin jäävän pinnan fysikaalinen pintaala. Yhden ruudun fysikaalinen pinta-ala on 1 s · 1 N = 1 Ns. Molemmissa tapauksissa impulssin suuruudeksi saadaan noin 6 Ns. Impulssit eroavat siten, että a-tapauksessa vaikuttava voima on suurempi kuin btapauksessa, ja a-tapauksessa voiman vaikutusaika on pidempi kuin btapauksessa. Vaikka impulssit ovat yhtä suuret, voiman vaikutus ei aina ole samanlainen. Suurempi voima saattaa esimerkiksi rikkoa rakenteita, mutta pienempi voima ei, vaikka voimien impulssit olisivat yhtä suuret.

15-4
Mailan palloon kohdistavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos:
$\overline{F}\Delta t=m\Delta\overline{v}=m\overline{v}_2-m\overline{v}_1$
Sovitaan voiman suunta positiiviseksi, jolloin pallon suunta ennen mailaan osumista on negatiivinen. Saadaan skalaariyhtälö $\overline{F}\Delta t=\ m\Delta\overline{v}_2-m\left(-\overline{v}_1\right)$ .
Maila vaikuttaa palloon voimalla

$\overline{F}\Delta t=m\Delta\overline{v}=m\overline{v}_2-m\overline{v}_1$

$\overline{F}\Delta t=\ m\overline{v}_2-m\left(-\overline{v}_1\right)=m\left(v_2+v_1\right)$

$F=\frac{m\left(v_2+v_1\right)}{\Delta t}=\frac{0{,}057kg\cdot\left(30\ \frac{m}{s}+20\ \frac{m}{s}\right)}{0{,}020s}=142{,}5N\approx140N$

Keskimääräisen voiman suuruus on 140 N ja suunta on vastakkainen pallon alkuperäiseen liikesuuntaan nähden.

15-5

$v=?$

$m=36g=0{,}036kg$

$I=F\Delta t=\frac{1}{2}\left(110N\cdot0{,}045s\right)=2{,}475Ns$

$\overline{I}=\Delta\overline{p}=m\Delta\overline{v}$

$\Delta\overline{v}=\frac{I}{m}=\frac{2{,}475Ns}{0{,}036kg}=68{,}75\approx69\ \frac{m}{s}$
15-7

$m=65g=0{,}065kg$

$v_1=-25\ \frac{m}{s}$

$v_2=35\ \frac{m}{s}$

$\Delta t=4{,}0ms=0{,}004s$
$\overline{I}=\Delta\overline{p}$

$F\Delta t=m\Delta\overline{v}$

$F=\frac{m\Delta\overline{v}}{\Delta\overline{t}}$

$F=\frac{0{,}065kg\cdot\left(35\ \frac{m}{s}+25\ \frac{m}{s}\right)}{0{,}004s}=975N\approx980N=0{,}98kN$

15-8

$m=150g=0{,}15kg$

$h=1{,}0m$

Impulssiperiaatteen mukaan pallon törmäyksessä vaikuttavan voiman impulssi on yhttä suuri kuin sen liikemäärän muuts eli

$\overline{I}=\ \Delta\overline{p}=p_1-p_2$

Pallon nopeus törmäyksen jälkeen on likimain sama kuin ennen törmäystä, joten pallon liikemäärä on yhtä suuri ennen ja jälkeen törmäyksen. Tosin suunat on eri.

Siis

$p_l=-p_a$ , kun valiaan suunta ylös positiiviseksi suunnaksi

$I=-p_a-p_a=-2p_a=-2\cdot m\left(-v_a\right)=2mv_a$

Ratkaistaan $v_a$ eli pallon nopeus sen osuessa energiaperiaatten aulla.

Valitaan nollatasoksi lattian taso. Tällöin pallon potentiaalienergia muuttuu pudotuksessa liike-energiaksi eli

$E_p=E_k$

$mgh=\frac{1}{2}mv_a^2$
$2mgh=mv_a^2$
$2gh=v_a^2$
$v_a=\sqrt[]{2gh}$
$I=2mv_a=2\cdot0{,}15kg\cdot\sqrt[]{2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot0{,}15kg}=1{,}328...\approx1{,}3Ns$
15-9

$F=0{,}38N$

$t=19ms=0{,}019s$

$m=2{,}5g=0{,}0025kg$

$\overline{I}=\Delta\overline{p}$

$I=Fs=0{,}38N\cdot0{,}019s=0{,}00722Ns$

$\Delta\overline{p}=m\Delta\overline{v}=mv_2-mv_1=m\left(v_2-0\right)$
$v_2=\frac{0{,}00722Ns}{2{,}5g}=2{,}888\ \frac{m}{s}$ $mgh=\frac{1}{2}mv^2$