4.3 Trigonometristen funktioiden suurimpia ja pienimpiä arvoja

444

a)
pienin arvo 0
suurin arvo 1,91
b)
funktio saa pienimmän ja suurimman arvon suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa
f\left(x\right)=x+\sin2x
välillä\left[0{,}\frac{3\pi}{4}\right]
 
 

 

442

a)
funktion f\left(x\right)=\sin x-\cos x suurin ja pienin arvo välillä [0,2π]
 
suurin ja pienin arvo voidaan saavuttaa välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa
f\left(0\right)=-1
f\left(2\pi\right)=-1
f'\left(x\right)=\cos x+\sin x
\cos x=-\sin x
\sin x=-\cos x
\frac{\sin x}{\cos x}=-1
\tan x=-1
x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}
nollakohdista välillä [0,2π] ovat \frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{7\pi}{4}
funktion arvot derivaattafunktion nollakohdissa
f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}
f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}
suurin arvo \sqrt{2}
pienin arvo -\sqrt{2}

b)
jaksollisen funktion f jakso on 2π
koko määrittelyjoukossa riittää selvittää jakson suuruisen välin suurin ja pienin arvo
a-kohdassa

suurin arvo \sqrt{2}
pienin arvo -\sqrt{2}

453

Osoita, että x-\sin x=5 on täsmälleen yksi ratkaisu
 
Bolzanon lause:
funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä ]a,b[, jos
funktio on jatkuva suljetulla välillä [a,b]
funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset
 
x-\sin x=5
x-\sin x-5=0
tutkitaan funktiota f\left(x\right)=x-\sin x-5
yhtälöllä x-\sin x=5\ jos funktiolla f\left(x\right) on täsmälleen yksi nollakohta
 
Katsotaan Bolzanon lauseen avulla onko funktiolla yhtään nollakohtaa esimerkkivälillä ]π, 2π[
f\left(\pi\right)=\pi-5<0
f\left(2\pi\right)=2\pi-5>0
funktiolla on siis ainakin yksi nollakohta
tutkitaan funktion monotonisuutta
f'\left(x\right)=1-\cos x
koska -1\le\cos x\le1, niin f'\left(x\right)\ge0, joten funktio on kasvava
kasvavalla funktiolla voi olla korkeintaan 1 nollakohta
funktiolla f\left(x\right) on toisaalta ainakin yksi 1 nollakohta
nollakohtia on tasan 1
myös yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu