Polynomin integrointi

Koska integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita niin integroitaessa polynomia jokainen polynomin termi eli yhteenlaskettava voidaan integroida erikseen. Lisäksi tarvittaessa on mahdollista käyttää vakiotekijän siirtosääntöä.

$\int_{ }^{ }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx+\int_{ }^{ }g\left(x\right)dx$

$\int_{ }^{ }a\cdot f\left(x\right)dx=a\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx\ \ \left(vakiotekijän\ a\ siirtosääntö\right)$
$Dx^n=n\cdot x^{n-1}{,}\ josta\ kääntäen\ \int_{ }^{ }n\cdot x^{n-1}dx=x^n+c$
$Voidaanko\ päätellä\ sääntö\ x^{n\ }integroimiseksi?$

$\int_{ }^{ }x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c{,}\ kun\ n\ne-1$
$Perustelu:\ D\left(\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c\right)=\frac{1}{n+1}\cdot\left(n+1\right)\cdot x^n+0=x^n$

Polynomin integroinnissa voidaan käyttää yllämainittuja sääntöjä, mutta voidaan myös käyttää käänteistä ajattelua eli minkä lausekkeen derivaatta on integroitava lauseke.

esim
Määritä

$\int_{ }^{ }\left(6x^4-3x^2-4x+1\right)dx=6\int_{ }^{ }x^4dx-x^3-4\int_{ }^{ }x^1dx-x$

$=6\cdot\frac{1}{5}x^5-x^3-4\cdot\frac{1}{2}x^2-x+c$

Kirjan tehtäviä alkaen tehtävästä 122

Kotitehtäviä: 129, 130, 131a, 133