Ratkaise
a) [[$ x^3+6x^2+8x>0 $]]​
b) [[$ -x^3-6x^2-8x>0 $]].

Ratkaisu:
a) [[$$ \begin{align}x^3+6x^2+8x&>0 \ & &\text{otetaan}\ x \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\x(x^2+6x+8)&>0\end{align} $$]]
Ratkaistaan funktion nollakohdat.
[[$$ \begin{align}x(x^2+6x+8)&=0\ & &\text{tulon nollasääntö}\\x=0 \ \text{tai} \ x^2+6x+8&=0\end{align} $$]]

Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]], [[$ x=-2 $]] ja [[$ x=-4 $]]. Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ x(x+2)(x+4)>0 $]].​

• [[$ x $]] on positiivinen, kun [[$ x>0 $]]

  ---

• [[$ x+2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-2 $]]

  ---

• [[$ x+4 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-4 $]]

  ---

Laaditaan merkkikaavio.

Toinen vaihtoehto laatia merkkikaavio on merkitä toisen asteen funktio omalle rivilleen. Tällöin pitää huomioida, aukeaako paraabeli ylös- vai alaspäin.

[[$ f(x)=x^2+6x+8 $]] on positiivinen, kun [[$ x<-4 $]] tai [[$ x>-2 $]].

Molemmissa päädytään samaan vastaukseen.

Vastaus: [[$ -4<x<-2 $]] tai [[$ x>0 $]]​​

Tarkistetaan vastaus kuvaajasta.


Kuvaaja todentaa saman kuin merkkikaavio eli vastaus on oikein.

b) [[$$ \begin{align}-x^3-6x^2-8x&>0 \ & &\text{otetaan}\ -x \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\-x(x^2+6x+8)&>0\end{align} $$]]
Ratkaistaan [[$ -x(x^2+6x+8)=0 $]].
Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]], [[$ x=-2 $]] ja [[$ x=-4 $]].

Huomataan, että kohdissa [[$ a $]] ja [[$ b $]] nollakohdat ovat tarkalleen samat.
Kohtien [[$ a $]] ja [[$ b $]] kuvaajat ovat toistensa peilikuvia.


Epäyhtälö tulomuodossa on [[$ -x(x+2)(x+4)>0 $]].

• [[$ -x $]] on positiivinen, kun [[$ x<0 $]]

---

• [[$ x+2 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-2 $]]

---

• [[$ x+4 $]] on positiivinen, kun [[$ x>-4 $]]

---

Laaditaan merkkikaavio.

Toinen vaihtoehto merkkikaaviolle:
[[$ f(x)=x^2+6x+8 $]] on positiivinen, kun [[$ x<-4 $]] tai [[$ x>-2 $]].

Vastaus: [[$ x<-4 $]] tai [[$ -2<x<0 $]]​​