1.4 Polynomin jakaminen tekijöihin
Tulomuoto
Polynomin jakaminen tekijöihin tarkoittaa polynomin kirjoittamista kahden tai useamman polynomin tulona. Tätä muotoa sanotaan siis tulomuodoksi. Tekijöihin jakamisesta on hyötyä rationaalilausekkeiden sieventämisessä ja polynomien nollakohtien etsimisessä. Polynomin nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan [[$x$]] arvoa, jolla polynomi saa arvon nolla eli, jolla [[$P(x)=0$]].
Esimerkiksi seuraavat polynomit ovat sama asia:
Summamuoto: [[$4x^{3} - 16x^{2} + 4x + 24$]]
Tulomuoto: [[$4(x-2)(x-3)(x+1)$]]
Esimerkiksi seuraavat polynomit ovat sama asia:
Summamuoto: [[$4x^{3} - 16x^{2} + 4x + 24$]]
Tulomuoto: [[$4(x-2)(x-3)(x+1)$]]
Yhteisen tekijän ottaminen
Jos polynomeille löytyy yhteinen tekijä, voidaan soveltaa osittelulakia taaksepäin ja kirjoittaa tulomuoto tämän avulla.
Jaa tekijöihin [[$10x+15$]].
Ratkaisu:
[[$10x+15=5\cdot2x+5\cdot3=5(2x+3)$]]
Osittelulaki
[[$K(A+B+C)=KA+KB+KC$]]
Esimerkki 1
Jaa tekijöihin [[$10x+15$]].Ratkaisu:
[[$10x+15=5\cdot2x+5\cdot3=5(2x+3)$]]
Esimerkki 2
Jaa tekijöihin [[$12y^{2}+9y$]].
Ratkaisu:
[[$4\cdot\underbrace{3\cdot y}_{=3y}\cdot y+3\cdot\underbrace{3\cdot y}_{=3y}=3y(4y+3)$]]
Esimerkki 3
Jaa tekijöihin [[$(x-5)^{3}+(x-5)^{2}$]].
Ratkaisu:
Polynomin termejä ei kannata lähteä laskemaan auki, vaan kannattaa huomata, että ne ovat samanmuotoisia ja niillä on yhteinen tekijä [[$(x-5)^{2}$]]. Ottamalla tämä yhteiseksi tekijäksi saadaan
[[$\begin{align}(x-5)^{3}+(x-5)^{2}&=(x-5)^{2}(x-5)+(x-5)^{2}\\&=(x-5)^{2}((x-5)+1)\\&=(x-5)^{2}(x-5+1)\\&=(x-5)^{2}(x-4).\end{align}$]]
Tekijöihin jakaminen nollakohtien avulla
Jos polynomilla on nollakohta [[$x_{1}$]], voidaan polynomi jatkaa sen avulla tekijöihin, sillä tällöin polynomin eräs tekijä on [[$(x-x_{1})$]]. Periaate pätee myös käänteisenä; jos polynomilla on tekijä [[$(x-x_{1})$]], on [[$x_{1}$]] sen nollakohta.
Edellä esitetystä seuraa, että mikä tahansa polynomi
[[$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} +\dots+ a_{1}x + a_{0} $]] voidaan kirjoittaa nollakohtiensa avulla tulomuotoon:
[[$P(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots(x-x_{n})$]], missä [[$x_{1},\dots,x_{n}$]] ovat polynomin [[$P(x)$]] nollakohdat ja [[$a_{n}$]] on korkeinta astetta olevan termin kerroin.
Sellaista polynomia, jolla ei ole reaalisia nollakohtia, sanotaan jaottomaksi.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan polynomi tulomuodossa, jolloin saadaan
[[$\begin{align}P(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\\&=(x-(-1))(x-1)(x-2)\\&=(x+1)(x-1)(x-2)\\&=x^{3} - 2x^{2} - x + 2\end{align}$]]
Tämä on eräs mahdollinen ratkaisu.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan polynomi tulomuodossa, jolloin saadaan
[[$\begin{align}P(x)&=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\\&=a(x-1)(x-2)(x-3)\\&=a(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6)\end{align}$]].
Tästä voidaan ratkaista [[$a$]] käyttämällä tietoa, että [[$P(12)=4$]]. Tällöin saadaan
[[$\begin{align}P(12)&=4\\a(12^{3} - 6\cdot12^{2} + 11\cdot12 - 6)&=4\\a\cdot990&=4\\a&=\frac{990}{4}=\frac{495}{2} \end{align}$]]
Vastaukseksi saadaan siis polynomi
[[$\begin{align}P(x)&=\frac{495}{2}(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6)\\&=\frac{495}{2}x^{3}-\frac{495}{2}\cdot6x^{2}+\frac{495}{2}\cdot11x-\frac{495}{2}\cdot6\\&=\frac{495}{2}x^{3}-1485x^{2}+\frac{5445}{2}x-1485.\end{align}$]]
Edellä esitetystä seuraa, että mikä tahansa polynomi
[[$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} +\dots+ a_{1}x + a_{0} $]] voidaan kirjoittaa nollakohtiensa avulla tulomuotoon:
[[$P(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots(x-x_{n})$]], missä [[$x_{1},\dots,x_{n}$]] ovat polynomin [[$P(x)$]] nollakohdat ja [[$a_{n}$]] on korkeinta astetta olevan termin kerroin.
Sellaista polynomia, jolla ei ole reaalisia nollakohtia, sanotaan jaottomaksi.
Esimerkki 4
Etsi kolmannen asteen polynomi, jonka nollakohtia ovat [[$x_{1}=-1, x_{2}=1$]] ja [[$x_{3}=2$]].Ratkaisu:
Kirjoitetaan polynomi tulomuodossa, jolloin saadaan
[[$\begin{align}P(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\\&=(x-(-1))(x-1)(x-2)\\&=(x+1)(x-1)(x-2)\\&=x^{3} - 2x^{2} - x + 2\end{align}$]]
Tämä on eräs mahdollinen ratkaisu.
Esimerkki 5
Etsi sellainen kolmannen asteen polynomi, jonka nollakohtia ovat [[$x_{1}=1, x_{2}=2$]] ja [[$x_{3}=3$]] ja joka toteuttaa ehdon [[$P(12)=4$]].Ratkaisu:
Kirjoitetaan polynomi tulomuodossa, jolloin saadaan
[[$\begin{align}P(x)&=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\\&=a(x-1)(x-2)(x-3)\\&=a(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6)\end{align}$]].
Tästä voidaan ratkaista [[$a$]] käyttämällä tietoa, että [[$P(12)=4$]]. Tällöin saadaan
[[$\begin{align}P(12)&=4\\a(12^{3} - 6\cdot12^{2} + 11\cdot12 - 6)&=4\\a\cdot990&=4\\a&=\frac{990}{4}=\frac{495}{2} \end{align}$]]
Vastaukseksi saadaan siis polynomi
[[$\begin{align}P(x)&=\frac{495}{2}(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6)\\&=\frac{495}{2}x^{3}-\frac{495}{2}\cdot6x^{2}+\frac{495}{2}\cdot11x-\frac{495}{2}\cdot6\\&=\frac{495}{2}x^{3}-1485x^{2}+\frac{5445}{2}x-1485.\end{align}$]]
