Yleinen potenssifunktio

$Potenssifunktion\ x^n\ integrointi\ yleisesti$

Tapaus 1: kun n ≠ -1 niin

$\int_{ }^{ }x^ndx\ =\frac{1}{n+1}\cdot\ x^{n+1}+c=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$

Tämä sääntö on voimassa myös, kun n on negatiivinen kokonaisluku tai mikä tahansa murtoluku.

$Huom!\ \ \frac{1}{x^4}=x^{-4}\ \ tai\ \frac{2}{x^2}=2\cdot x^{-2}$

$Juurimuoto\ muutetaan\ murtopotenssiksi:\$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}{,}\ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\ jne{,}\ yleisesti\ \sqrt[n]{x^p}=x^{\frac{p}{n}}$

Tapaus 2: kun n = -1

$nyt\ \int_{ }^{ }x^n\ dx=\int_{ }^{ }x^{-1}dx=\int_{ }^{ }\frac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+c{,}\ sillä\ D\ln x=\frac{1}{x}=x^{-1}$

Määritä

$\int_{ }^{ }\frac{x^3-2x+3}{x^2}dx$

b)
$\int_{ }^{ }\left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

Kotitehtävät: 151, 154 ja 155