2. Yhdistetyn funktion integrointi
Potenssifunktion integrointi yleisesti
Tarkastellaan funktiota
![f\left(x\right)=\left(3x^2-5\right)^6](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E6)
![määritetään\ f'\left(x\right)=6\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4ritet%C3%A4%C3%A4n%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D6%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E5%5Ccdot6x)
![\left(Kääntäen\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }6\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x\right)dx=\left(3x^2-5\right)^6+c=f\left(x\right)+c](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(K%C3%A4%C3%A4nt%C3%A4en%5C%20%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%27%5Cleft(x%5Cright)dx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D6%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E5%5Ccdot6x%5Cright)dx%3D%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E6%2Bc%3Df%5Cleft(x%5Cright)%2Bc)
![Määritä\ tämän\ perusteella](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=M%C3%A4%C3%A4rit%C3%A4%5C%20t%C3%A4m%C3%A4n%5C%20perusteella)
![\int_{ }^{ }\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x\ dx=\frac{1}{6}\left(3x^2-5\right)^6+c](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E5%5Ccdot6x%5C%20dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cleft(3x%5E2-5%5Cright)%5E6%2Bc)
Huom! integroitavassa oleva 6x on potenssifunktion sisäfunktion derivaatta, joka on oltava integroitavassa lausekkeessa.
- yhdistetyssä funktiossa f ∘ g = f (g(x)) f on ulkofunktio ja g on sisäfunktio
Yhdistetyn funktion derivaatta
kääntäen
Integroitavassa lausekkeessa sisäfunktion derivaatta (g '(x)) on oltava tekijänä, mutta integroitaessa se "häviää"
Määritä
Integroitavana on potenssifunktio (ulkofunktio), jonka sisäfunktio on 3x - 2 ja jonka derivaatta on 3.
![=\frac{1}{3}\int_{ }^{ }3\left(3x-2\right)^6dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}\left(3x-2\right)^7+c](https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D3%5Cleft(3x-2%5Cright)%5E6dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%5Cleft(3x-2%5Cright)%5E7%2Bc)
Määritä
Tämä puuttuu nyt integroitavasta lausekkeesta, joten joudutaan laventavamaan 3:lla
Eksponentti- ja trigonometristen funktioiden integrointi
Voidaan johtaa helposti derivoimissääntöjen perusteella
Määritä
a)
b)