2. Yhdistetyn funktion integrointi

Potenssifunktion integrointi yleisesti

Tarkastellaan funktiota
f\left(x\right)=\left(3x^2-5\right)^6
määritetään\ f'\left(x\right)=6\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x
\left(Kääntäen\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }6\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x\right)dx=\left(3x^2-5\right)^6+c=f\left(x\right)+c
Määritä\ tämän\ perusteella
\int_{ }^{ }\left(3x^2-5\right)^5\cdot6x\ dx=\frac{1}{6}\left(3x^2-5\right)^6+c
Huom! integroitavassa oleva 6x on potenssifunktion sisäfunktion derivaatta, joka on oltava integroitavassa lausekkeessa.
\Rightarrow integraalia\int_{ }^{ }\left(3x^2-5\right)^5dx\ ei\ voida\ määrittää


- yhdistetyssä funktiossa f ∘ g = f (g(x)) f on ulkofunktio ja g on sisäfunktio

Yhdistetyn funktion derivaatta
Df\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right){,}\ jossa\ g'\left(x\right)\ on\ sisäfunktion\
ja\ f'\left(g\left(x\right)\right)\ on\ ulkofunktion\ derivaatta

kääntäen
\int_{ }^{ }f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }g'\left(x\right)\cdot f'\left(g\left(x\right)\right)dx=f\left(g\left(x\right)\right)+c
Integroitavassa lausekkeessa sisäfunktion derivaatta (g '(x)) on oltava tekijänä, mutta integroitaessa se "häviää"


Määritä
\int_{ }^{ }\left(3x-2\right)^6dx=
Integroitavana on potenssifunktio (ulkofunktio), jonka sisäfunktio on 3x - 2 ja jonka derivaatta on 3.
Tämä puuttuu nyt integroitavasta lausekkeesta, joten joudutaan laventavamaan 3:lla
=\int_{ }^{ }\frac{1}{3}\cdot3\cdot\left(3x-2\right)^6dx\ \ \left(nyt\ vakio\ \frac{1}{3\ }\ siirretään\ integr\ merkin\ eteen\right)

=\frac{1}{3}\int_{ }^{ }3\left(3x-2\right)^6dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}\left(3x-2\right)^7+c