4. Derivoimissääntöjä

Potenssifunktion derivaatta

$Polynomeissa\ käytettävää\ derivoimissääntöä\ Dx^n=n\cdot x^{n-1}$

voidaan käyttää myös tapauksissa, joissa eksponentti n on negatiivinen tai murtoluku

HUOM!
$\frac{1}{x^p}=x^{-p}$

esimerkiksi

$D\ \frac{1}{x^2}=D\ x^{-2}=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$

$ennen\ derivointia\ muoto\ \frac{1}{x^2}\ muutetaan\ muotoon\ x^{-2}{,}\ joka\ derivoidaan\ potenssifunktion$
$derivoimissäännöllä$

Samoin juurimuodot muutetaan ennen derivointia murtopotenssimuotoon

esim

$\ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

$nyt\ D\ \sqrt[3]{x^2}=D\ x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\ \ \left(tämä\ muoto\ muutetaan\ takai\sin\ juurimuotoon\right)$
$=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Osamäärän ja tulon derivoimissääntö

Tulon ja osamäärän derivoimissääntö

Tulon tekijöitä ei voida derivoida erikseen vaan jos funktio on kahden eri lausekkeen tulo niin siinä joudutaan käyttämään tulon derivoimissääntöä.

$summan\ tapauksessa\ molemmat\ yhteenlaskettavat\ derivoidaan\ erikseen\ eli$
$D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$
'
$tulon\ tapauksessa\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)\ne\ne\ne\ne f'\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$

$Tulon\ derivoimissääntö:\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$

Nyt tässä kohdin tulon derivoimissääntöä ei juurikaan tarvita, koska kun f ja g ovat polynomeja niin yleensä tulo voidaan siventää ennen derivointia

esimerkiksi

$D\left(x^3\cdot x^4\right)=Dx^7=7x^6\ \left(ei\ kannata\ käyttää\ tulon\ derivoimissääntöä\right)$
$\left(D\left(x^3\cdot x^4\right)=3x^2\cdot x^4+x^3\cdot4x^3=3x^6+4x^6=7x^6\right)$

Murtolauseke on kahden polynomin osamäärä, joka joudutaan derivoimaan osamäärän derivoimissäännön avulla. Eli ei voida ajatella siten, että derivoidaan osoittaja ja nimittäjä erikseen

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ne\ne\ne\ne\ne\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}$

$Osamäärän\ derivoimissääntö:\ D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$
$Lyhyem\min:\ D\ \frac{f}{g}=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$

$esim$
$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x-4}$
$f'\left(x\right)=\frac{2\cdot\left(3x-4\right)-\left(2x+1\right)\cdot3}{\left(3x-4\right)^2}=\frac{6x-8-6x-3}{\left(3x-4\right)^2}=-\frac{11}{\left(3x-4\right)^2}$

HUOM!! $D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)$

Murtofunktion kulku ja ääriarvot