2. Derivaatta
Funktion muutosnopeus
Derivaatan määritelmä
Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.
Erotusosamäärä välillä [a, x]-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D)
Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:
Derivaatan määritelmä
Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.
%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D)
Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.
Erotusosamäärä välillä [a, x]
Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:
Derivaatan määritelmä
Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.
Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.
Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa x = 1, kun
%3Dx%5E2-4x)
Funktion f derivaattaa kohdassa x = 1 merkitään
%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(1%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x-%5Cleft(1%5E2-4%5Ccdot1%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x%2B3%7D%7Bx-1%7D)
Tämä raja-arvo on muotoa 0/0 eli nyt myös osottajasta löytyy tekijä x - 1%5Cleft(x-3%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%5C%20%5C%20%5Cleft(t%C3%A4ss%C3%A4%5C%20toinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%20p%C3%A4%C3%A4telty%5Cright))
%3D1-3%3D-2)
%3D-2)
Tämä tarkoittaa myös sitä, että funktion muutosnopeus kohdassa x = 1 on -2 (vähenemisnopeus). Graafisesti tämä tarkoittaa, että jos funktion f kuvaajalle eli paraabelille piirretään tangentti kohtaa x = 1 vastaavaan paraabelin pisteeseen (1, -3), niin sen kulmakerroin on -2.
Määritä funktion f derivaatta kohdassa x = -1, kun%3D-x%5E2%2B2)
%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(-1%5Cright)%7D%7Bx-%5Cleft(-1%5Cright)%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B2-%5Cleft(-%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%2B2%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B1%7D%7Bx%2B1%7D)
%5Cleft(-x%2B1%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D%3D-%5Cleft(-1%5Cright)%2B1%3D2)
Tämä raja-arvo on muotoa 0/0 eli nyt myös osottajasta löytyy tekijä x - 1
Tämä tarkoittaa myös sitä, että funktion muutosnopeus kohdassa x = 1 on -2 (vähenemisnopeus). Graafisesti tämä tarkoittaa, että jos funktion f kuvaajalle eli paraabelille piirretään tangentti kohtaa x = 1 vastaavaan paraabelin pisteeseen (1, -3), niin sen kulmakerroin on -2.
Määritä funktion f derivaatta kohdassa x = -1, kun