Ristitulo (vektoritulo)

Kolmion ABC kaksi sivuvektoria ovat

$\overline{AB}=\bar{\text{i}}+3\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}\ \ ja\ \overline{AC}=4\bar{\text{i}}+\bar{\text{j}}+4\bar{\text{k}}.$

Osoita, että kolmio on suorakulmainen ja laske sen pinta-ala.

Näytetään, että kahden kolmion sivuvektorin välinen pistetulo on nolla.

$\overline{AB}\cdot\overline{AC}=1\cdot4+3\cdot1+1\cdot4=11\ \ \Rightarrow\ sivut\ AB\ ja\ AC\ eivät\ ole\ kohtisuorassa$
Muodostetaan kolmion kolmas sivuvektori

$\overline{BC}\ käyttämällä\ vektorien\ summaa\ eli\ kolmiossa\ ABC$
$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{BC}=\overline{AC\ }-\overline{AB}=4\bar{\text{i}}+\bar{\text{j}}+4\bar{\text{k}}-\left(\bar{\text{i}}+3\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}\right)$
$\overline{BC}=3\bar{\text{i}}-2\bar{\text{j}}+3\bar{\text{k}}$
$\overline{AB}\cdot\overline{BC}=1\cdot3+3\cdot\left(-2\right)+1\cdot3=0\ \ \Rightarrow\ \ \overline{AB}\ \ \perp\ \overline{BC}\ \ eli\ kolmion\ on\ suorakulmainen$

Kolmion ala

$\left|\overline{AB}\right|=\sqrt{1^2+3^2+1^2}=\sqrt{11}\ \ ja\ \left|\overline{BC}\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2+3^2}=\sqrt{22}$
$A=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{22}=\frac{11\sqrt{2}}{2}\approx$

312.

A = (1, 3, 2), B = (-2, 3, 5) ja C = (-1, 3, 4)

Muodostetaan vektorit

$\overline{AB}\ ja\ \overline{AC}\ \ \left(tai\ \overline{AB}\ ja\ \overline{BC}\ \ tai\ \overline{BC}\ ja\ \overline{AC}\right)\ ja\ näytetään\ että\ ne\ ovat\ yhdensuutaiset$
$\overline{AB}=\left[\begin{matrix} -3\\ 0\\ 3 \end{matrix}\right]\ \ ja\ \overline{AC}=\left[\begin{matrix} -2\\ 0\\ 2 \end{matrix}\right]$
$jos\ \overline{AB}\ \parallel\ \overline{AC}\ niin\ löytyy\ reaaliluku\ t\ siten{,}\ että\ \overline{AB}\ =t\cdot\overline{AC}$
$Huomataan{,}\ että\ t\ =\ \frac{3}{2}\ eli\ \overline{AB}=\frac{3}{2}\cdot\overline{AC}$
$nyt\ pisteet\ A{,}\ B\ ja\ C\ ovat\ samalla\ suoralla.$

Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulon teoriaa on monisteessa (ja oppikirjassa).

Moniste.

$\overline{a}\times\overline{b}=\left|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\bar{\text{j}}&\bar{\ \text{k}}\\ 1&3&-1\\ 2&1&\ 2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\ \bar{\text{j}}\\ 1&\ 3\\ 2&\ 1 \end{matrix}=6\bar{\text{i}}-2\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}-\left(6\bar{\text{k}}-\bar{\text{i}}+2\bar{\text{j}}\right)$
$=7\bar{\text{i}}-4\bar{\text{j}}-5\bar{\text{k}}=\overline{u}$

Ristitulo voidaan laskea myös oppikirjan tavoin käyttäen 2x2 -determinantteja eli

$\overline{a}\times\overline{b}=\left|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\bar{\text{j}}&\bar{\text{k}}\\ 1&3&-1\\ 2&1&2 \end{matrix}\right|=\bar{\text{i}}\left|\begin{matrix} 3&-1\\ 1&2 \end{matrix}\right|-\bar{\text{j}}\left|\begin{matrix} 1&-1\\ 2&2 \end{matrix}\right|+\bar{\text{k}}\left|\begin{matrix} 1&3\\ 2&1 \end{matrix}\right|$
$=\left(3\cdot2-\left(-1\right)\cdot1\right)\bar{\text{i}}-\left(1\cdot2-\left(-1\right)\cdot2\right)\bar{\text{j}}+\left(1\cdot1-3\cdot2\right)\bar{\text{k}}=7\bar{\text{i}}-4\bar{\text{j}}-5\bar{\text{k}}$

Nyt huomataan, että

$\overline{a}\cdot\overline{u}=1\cdot7+3\cdot\left(-4\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)=0\ \ \Rightarrow\ \overline{a}\ \perp\overline{\ u}$
$\left(samoin\ \overline{b}\cdot\overline{u}=0\ eli\ myös\ \overline{b}\ \perp\ \overline{u}\right)$