Vektorit avaruuskoordinaatistossa

Vektorilaskennan perusteita

Tasovektoreita xy-koordinaatistossa


Tasovektorin komponenttiesitys xy-koordinaatistossa
[[$\overline{a}=\left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right]=x\bar{\text{i}}+y\bar{\text{j}}\ $]]

[[$vektorin\ \overline{a}\ pituus{,}\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]]

Kahden pisteen välinen vektori, kun 
[[$A=\left(x_1{,}\ y_{21}\right)\ ja\ B=\left(x_2{,}\ y_2\right)$]]
[[$\overline{AB}=\left[\begin{matrix} x_2-x_1\\ y_2-y_1 \end{matrix}\right]=\left(x_2-x_1\right)\bar{\text{i}}+\left(y_2-y_1\right)\bar{\text{j}}$]]

Vektoreiden summa

[[$Olkoon\ vektorit\ \overline{u}=\left[\begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix}\right]\ ja\ \overline{v}=\left[\begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix}\right].\ Muodosta\ vektorit\ \overline{a}=\overline{u}+\overline{v}\ \ ja\ \overline{b}=\overline{v}-2\overline{u}$]]
[[$\overline{a}=\overline{u}+\overline{v}=\left[\begin{matrix} 2+1\\ -3+2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 3\\ -1 \end{matrix}\right]\ \left(=3\bar{\text{i}}-\bar{\text{j}}\right)\ ja$]]
[[$\overline{b}=\overline{v}-2\overline{u}=\left[\begin{matrix} 1-2\cdot2\\ 2-2\cdot\left(-3\right) \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -3\\ 8 \end{matrix}\right]\left(=-3\bar{\text{i}}+8\bar{\text{j}}\right)$]]

Vektoreiden pistetulo
[[$kun\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} x_1\\ y_1 \end{matrix}\right]\ ja\ \overline{b}=\left[\begin{matrix} x_2\\ y_2 \end{matrix}\right]\ niin\ näiden\ vektoreiden\ pistetulo$]]

[[$\overline{a}\cdot\overline{b}=x_1x_2+y_1y_2$]]

[[$esim\ edellisen\ esimerkin\ vektoreiden\ tapauksessa$]]
[[$\overline{u}\cdot\overline{v}=2\cdot1+\left(-3\right)\cdot2=-4$]]

HUOM!
[[$Jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}=0\ niin\ vektorit\ ovat\ kohtisuorassa\ toisiaan\ vastaan\ \left(\overline{a}\ \perp\ \overline{b}\right)$]]
Pistetulon avulla voidaan määrittää vektoreiden välinen kulma
[[$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}$]]

Avaruusvektoreilla homma toimii samalla tavalla. Vektoriin tulee z-komponentti mukaan

data_url_to_image_ndlbnj.png
data_url_to_image_v1smhg.png

Kotitehtävät: 302 loppuun, 305, 306 ja 307

Vektoreiden yhdensuutaisuus


[[$vektorit\ \overline{a}\ \ ja\ \overline{b}\ \ ovat\ yhdensuuntaiset{,}\ jos\ löytyy\ sellainen\ reaaliluku\ t{,}\ $]]
[[$että\ \overline{a}=t\cdot\overline{b}\ \ \ \left(tai\ \overline{b}=t\cdot\overline{a}\right)$]]
[[$lyhyem\min:\ \overline{a}\ \parallel\ \overline{b}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a}=t\cdot\overline{b}{,}\ \ \ t\in\mathbb{R}\ $]]

Vektoreiden kohtisuoruus


[[$vektorit\ \overline{a}\ \ ja\ \overline{b}\ \ ovat\ kohtisuorassa\ toisiaan\ vastaan{,}\ jos\ niiden\ pistetulo\ on\ nolla$]]

[[$\overline{a}\ \ \perp\ \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow\ \overline{a}\ \cdot\ \overline{b}\ =0$]]
  • Palauta vastaus

Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.

Ristitulo (vektoritulo)

Kolmion ABC kaksi sivuvektoria ovat
\overline{AB}=\bar{\text{i}}+3\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}\ \ ja\ \overline{AC}=4\bar{\text{i}}+\bar{\text{j}}+4\bar{\text{k}}.
 
Osoita, että kolmio on suorakulmainen ja laske sen pinta-ala.
 
Näytetään, että kahden kolmion sivuvektorin välinen pistetulo on nolla.
\overline{AB}\cdot\overline{AC}=1\cdot4+3\cdot1+1\cdot4=11\ \ \Rightarrow\ sivut\ AB\ ja\ AC\ eivät\ ole\ kohtisuorassa
Muodostetaan kolmion kolmas sivuvektori
\overline{BC}\ käyttämällä\ vektorien\ summaa\ eli\ kolmiossa\ ABC
\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{BC}=\overline{AC\ }-\overline{AB}=4\bar{\text{i}}+\bar{\text{j}}+4\bar{\text{k}}-\left(\bar{\text{i}}+3\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}\right)
\overline{BC}=3\bar{\text{i}}-2\bar{\text{j}}+3\bar{\text{k}}
\overline{AB}\cdot\overline{BC}=1\cdot3+3\cdot\left(-2\right)+1\cdot3=0\ \ \Rightarrow\ \ \overline{AB}\ \ \perp\ \overline{BC}\ \ eli\ kolmion\ on\ suorakulmainen

Kolmion ala
\left|\overline{AB}\right|=\sqrt{1^2+3^2+1^2}=\sqrt{11}\ \ ja\ \left|\overline{BC}\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2+3^2}=\sqrt{22}
A=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{22}=\frac{11\sqrt{2}}{2}\approx
 
 
312.
 
A = (1, 3, 2), B = (-2, 3, 5) ja C = (-1, 3, 4)
 
Muodostetaan vektorit
\overline{AB}\ ja\ \overline{AC}\ \ \left(tai\ \overline{AB}\ ja\ \overline{BC}\ \ tai\ \overline{BC}\ ja\ \overline{AC}\right)\ ja\ näytetään\ että\ ne\ ovat\ yhdensuutaiset
\overline{AB}=\left[\begin{matrix} -3\\ 0\\ 3 \end{matrix}\right]\ \ ja\ \overline{AC}=\left[\begin{matrix} -2\\ 0\\ 2 \end{matrix}\right]
jos\ \overline{AB}\ \parallel\ \overline{AC}\ niin\ löytyy\ reaaliluku\ t\ siten{,}\ että\ \overline{AB}\ =t\cdot\overline{AC}
Huomataan{,}\ että\ t\ =\ \frac{3}{2}\ eli\ \overline{AB}=\frac{3}{2}\cdot\overline{AC}
nyt\ pisteet\ A{,}\ B\ ja\ C\ ovat\ samalla\ suoralla.


Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulon teoriaa on monisteessa (ja oppikirjassa).
Moniste.
\overline{a}\times\overline{b}=\left|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\bar{\text{j}}&\bar{\ \text{k}}\\ 1&3&-1\\ 2&1&\ 2 \end{matrix}\right|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\ \bar{\text{j}}\\ 1&\ 3\\ 2&\ 1 \end{matrix}=6\bar{\text{i}}-2\bar{\text{j}}+\bar{\text{k}}-\left(6\bar{\text{k}}-\bar{\text{i}}+2\bar{\text{j}}\right)
=7\bar{\text{i}}-4\bar{\text{j}}-5\bar{\text{k}}=\overline{u}

Ristitulo voidaan laskea myös oppikirjan tavoin käyttäen 2x2 -determinantteja eli
 
\overline{a}\times\overline{b}=\left|\begin{matrix} \bar{\text{i}}&\bar{\text{j}}&\bar{\text{k}}\\ 1&3&-1\\ 2&1&2 \end{matrix}\right|=\bar{\text{i}}\left|\begin{matrix} 3&-1\\ 1&2 \end{matrix}\right|-\bar{\text{j}}\left|\begin{matrix} 1&-1\\ 2&2 \end{matrix}\right|+\bar{\text{k}}\left|\begin{matrix} 1&3\\ 2&1 \end{matrix}\right|
=\left(3\cdot2-\left(-1\right)\cdot1\right)\bar{\text{i}}-\left(1\cdot2-\left(-1\right)\cdot2\right)\bar{\text{j}}+\left(1\cdot1-3\cdot2\right)\bar{\text{k}}=7\bar{\text{i}}-4\bar{\text{j}}-5\bar{\text{k}}
 


 
Nyt huomataan, että 
\overline{a}\cdot\overline{u}=1\cdot7+3\cdot\left(-4\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)=0\ \ \Rightarrow\ \overline{a}\ \perp\overline{\ u}
\left(samoin\ \overline{b}\cdot\overline{u}=0\ eli\ myös\ \overline{b}\ \perp\ \overline{u}\right)