uupalloäs ja äspallouu

$f\left(x\right)=x^2+2\sin x$

$h\left(x\right)=\left(2x+3\right)^2+2\sin\left(2x+3\right)$

määritelmä

lauseke $u\left(s\left(x\right)\right)$ on funktioiden $u\left(x\right)\ ja\ s\left(x\right)$ yhdistetty funktio

$u\left(x\right)$ on ulkofunktio ja $s\left(x\right)$ sisäfunktio

Merkitään $u\left(s\left(x\right)\right)=\left(u\circ s\right)\left(x\right)$
(luetaan uu pallo äs)

esimerkki

muodosta

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ ja\ \left(s\circ u\right)\left(x\right)$ , kun

a)

$u\left(x\right)=x^2\ ja\ s\left(x\right)=3x+1$
$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=\left(3x+1\right)^2$

$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=3x^2+1$

b)

$u\left(x\right)=\cos x\ ja\ s\left(x\right)=x^2+1$
$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=\cos\left(x^2+1\right)$
$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=\cos^2x+1$

huom! yleensä $\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ne\left(s\circ u\right)\left(x\right)$

tulkitse yhdistetyksi funktioksi

a)

$f\left(x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$
$u\left(x\right)=x^2$
$s\left(x\right)=3x^2+2x$

b)

$g\left(x\right)=\frac{3}{1+\sin x}$
$u\left(x\right)=\frac{3}{x}$
$s\left(x\right)=1+\sin x$