Esimerkit

Kpl.4.3

446

$f\left(x\right)=\cos2x+2\sin x$

Sinifunktion sinx perujakso on 2π ja cos2x perusjakso on 2π/2=π. Funktion cos2 arvot toistuvat samoina π:n välein

ja myös 2π:n välein. Siis funktioniden sinix ja cos2x arvot toistuvat samoina 2π:n välein eli funktion f(x) jakso on 2π.

Riittää etsiä funktion f(x) suurin ja pienin arvo välillä [0,2π].

Suljetulla välillä jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin pätepisteisä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

$f'\left(x\right)=-2\sin2x+2\cos x$

$f'\left(x\right)=0$

$-2\sin2x+2\cos x=0$
$-2\cdot2\sin x\cos x+2\cos x=0$
$2\cos x\left(-2\sin x+1\right)=0$
$2\cos x=0$
$\cos x=0$
$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi\ \$

$-2\sin x+1=0$
$-2\sin x=-1$
$\sin x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi$

tai

$x=\pi-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi=\frac{5\pi}{6}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Välillä [0,2π] ovat nollatkohdat

$x=\frac{\pi}{2}{,}\ x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}{,}\ x=\frac{\pi}{6}{,}\ x=\frac{5\pi}{6}$

Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa

$f\left(0\right)=\cos\left(2\cdot0\right)+2\sin0=1+2\cdot0=1$
$f\left(2\pi\right)=\cos\left(2\cdot2\pi\right)+2\sin\left(2\pi\right)=1+2\cdot0=1$
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-3$
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}$

Arvojoukko om [-3,3/2]

Kpl.4.2

$Du\left(s\left(x\right)\right)=u'\left(s\left(x\right)\right)\cdot s'\left(x\right)$

Esim. Derivoi

$f\left(x\right)=\left(2x+4\right)^5$

$s\left(x\right)=2x+4$

$u\left(x\right)=x^5$
$s'\left(x\right)=2{,}\ u'\left(x\right)=5x^4$

$u'\left(s\left(x\right)\right)=5x\left(2x+4\right)^4\cdot2=10x\left(2x+4\right)^4$

$p\left(x\right)=2x\cdot\tan\left(3x\right)$
$Df\left(x\right)g\left(x\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)f\left(x\right)$

$f\left(x\right)=2x$
$g\left(x\right)=\tan\left(3x\right)$

$s'\left(x\right)=3$
$u'\left(x\right)=\frac{1}{\cos^2x}\ tai\ u'\left(x\right)=1+\tan^2x$
$g'\left(x\right)=\frac{3}{\cos^2\left(3x\right)}\ \ tai\ g'\left(x\right)=3+3\tan^2\left(3x\right)$

$p'\left(x\right)=2\cdot\tan\left(3x\right)+2x\cdot\left(3+3\tan^2\left(3x\right)\right)=2\tan\left(3x\right)+6x+6x\tan^2\left(3x\right)$

$r\left(x\right)=\frac{\left(3x^2+2x\right)^3}{2x}$

$D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-g'\left(x\right)\cdot f\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$

$f'\left(x\right)=3\left(3x^2+2x\right)^2\left(6x+2\right)$
$r'\left(x\right)=\frac{3\left(3x^2+2x\right)^2\left(6x+2\right)\cdot2x-2\cdot\left(3x^2+2x\right)^3}{\left(2x\right)^2}=\frac{2\left(3x^2+2x\right)^2\left(3x\left(6x+2\right)-\left(3x^2+2x\right)\right)}{4x^2}=\frac{\left(3x^2+2x\right)^2\left(18x^2+6x-3x^2-2x\right)}{2x^2}=\frac{\left(3x^2+2x\right)^2\left(15x^2+4x\right)}{2x^2}$

Kpl.4.1

Määritelmä

Lauseke $u\left(s\left(x\right)\right)$ on funktioiden $u\left(x\right)$ ja $s\left(x\right)$ yhdistetty funktio

$u\left(x\right)$ on ulkofunktio ja $s\left(x\right)$ on sisäfunktio

Määtitään $\left(u\circ s\right)\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right)$

Esim. Muodosta

a) $u\left(x\right)^2$ ja $s\left(x\right)^2=3x+1$

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(3x+1\right)^2$

$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=s\left(u\left(x\right)\right)=s\left(x\right)^2=3x^2+1$

$u\left(x\right)=\cos x$ ja $s\left(x\right)=x^2+1$

$\left(u\circ s\right)=u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(x^2+1\right)=\cos\left(x^2+1\right)$

$\left(\left(s\circ u\right)=s\left(u\left(x\right)\right)=s\left(\cos x\right)=\left(\cos x\right)^2+1=\cos2x+1\right)$

Huom! yleensä

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ne\left(s\circ u\right)\left(x\right)$

Esim.Tulkitse yhdistetyksi funktioksi

$f\left(x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$

$s\left(x\right)=3x^2+2x$ , $u\left(x\right)=x^2$

Tällöin

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(3x^2+2x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$

$g\left(x\right)=\frac{3}{1+\sin x}$

Tapa 1:

$s\left(x\right)=1+\sin x$ , $u\left(x\right)=\frac{3}{x}$

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(\frac{3}{1+\sin x}\right)$

Tapa 2:

$s\left(x\right)=\sin x$ , $u\left(x\right)=\frac{3}{1+x}$

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(\frac{3}{1+\sin x}\right)$

Kpl.3.2

Lause

Tangenttifunktiolle $f\left(x\right)=\tan x$ pätee:

- Funktio on määritelty, kun $x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

- Arvojoukko on ]-∞,∞[ eli ℝ

- Jatkuva määrittelyjoukossaan

- Funktio on jaksollinen, perusjakso on π

- Funktio on kasvava kaikilla määtittelyjoukkonsa osaväleillä

Esim. Ratkaise yhtälö geogebralla arvioiden ja ilman apuvälineitä

a) $\tan x=2+\sqrt[]{3}$

Geogebra: $x\approx1{,}31+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

MAOL: Eräs ratkaisu on $x=\frac{5\pi}{12}$ . Kaikki ratkaisut ovat $x=\frac{5\pi}{12}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$\tan3x=\tan\frac{4\pi}{7}$

Geogebralla: $x\approx0{,}6+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$
$\tan3x=\tan\frac{4\pi}{7}$
$3x=\frac{4\pi}{7}$
$x=\frac{4\pi}{21}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause

Jos $x=\alpha$ on yhtälön $\tan x=\alpha$ eräs ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Esim. Ratkaise yhtälö

$4\cdot\sin x=-2\cdot\cos\ x\ \left|\right|:\cos x{,}\ x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$4\frac{\sin x}{\cos x}=-2$

$\tan x=-\frac{1}{2}$

Jos

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi$ , niin $\sin x=\pm1$ ja $\cos x=0$ eli yhtälö on epätosi.

Lause

$D\tan x=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x{,}\ kun\ x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{\mathbb{Z}}$

Todistus

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^{^2}}$ $D\sin x=\cos x$ $D\cos x=-\sin x$

$D\tan x=D\ \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

tai

$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\frac{\left(\sin x\right)^2}{\left(\cos x\right)^{^2}}=1+\left(\tan x\right)^2=1+\tan^2x$

Kpl.3.1

$\sin\alpha=y$ $\cos\alpha=x$
$\tan\alpha=\frac{y}{x}$

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , kun $\alpha\ne90°+n\cdot180°$ $\left(\alpha\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}\right)$

Kpl.2.2

2.2 sinin ja kosinin derivaatat

Lause

$D\sin x=\cos x$

$D\cos x=-\sin x$

Esim. Määritä

a) f'(x), kun f(x)=2sinx+cosx

$f'\left(x\right)=D2\sin x+D\cos x=2D\sin x+D\sin x=2\cdot\cos x-\sin x$

b) f'(π/2), kun f(x)=sinx-3cosx

$f'\left(x\right)=D\sin x-3D\cos x=\cos x+3\sin x$

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+3\sin\frac{\pi}{2}=0+3=3$

Esim. Derivoi

a) h(x)=x³cosx

$D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)\cdot f\left(x\right)$
$h'\left(x\right)=3x^2\cos x-x^3\sin x$

b) $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{\cos x}$

$D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-g'\left(x\right)f\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}\ {,}g\left(x\right)\ne0$

$h'\left(x\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

Kpl.2.1

Molemmille funktiolle Esim. Määritä funktion arvojoukko, kun

$f\left(x\right)=\sin x$ ja $g\left(x\right)=\cos x$ pätee:

- Funktio on määritelty x∈ℝ

- Funktion arvojoukko on [-1,1]

- Funktio on jatkuva

- Funktion kuvaaja toistuu samanlaisena 2π:n välein

Esim Määritä funktion joukko, kun

$f\left(x\right)=3\sin x-2$

$-1\le\sin x\le1\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot3$
$-3\le3\sin x\le3\ \ \ \ \ \left|\right|-2$

$-5\le3\sin x-2\le1$

$-5\le f\left(x\right)\le1$

eli arvojoukko on [-5,1]

Lause

Funktioiden

$f\left(x\right)=\sin\left(Cx+D\right)$ ja $g\left(x\right)=\cos\left(Cx+D\right)$ , missä C>1, perusjakso on $\frac{2\pi}{C}$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$

$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$

214

$f\left(x\right)=3\sin2x+5$

Arvo kohdassa x=0

$f\left(0\right)=3\cdot\sin\left(2\cdot0\right)+5=3\cdot0+5=5$

Nollakohdat: Ratkaistaan yhtälö $f\left(x\right)=0$

$3\cdot\sin2x+5=0$
$3\cdot\sin2x=-5$

$\sin2x=-\frac{5}{3}$

sinin arvot ovat välillä [-1,1], joten yhtälöllä ei ole ratkaisua, eikä funktiolla ole nollakohtia.

$-1\le\sin x\le1$

$-1\le\sin2x\le1\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot3$
$-3\le3\sin2x\le3\ \ \ \ \ \left|\right|+5$
$2\le3\sin2x+5\le8$

$2\le f\left(x\right)\le8$

Arvojoukko on [2,8]

Kpl.1.4

Esim. Ratkaise kaikki kulmat x, jolle $\sin x=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

MAOL: Kulmat $x=\frac{\pi}{4}$ on yhtälön eräs ratkaisu

koska $\sin\frac{\pi}{4}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ , niin myös $x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ on yhtälön ratkaisu

kaikki ratkaisut ovat

$x=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\ \pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause: Jos yhtälöllä $\sin x=\alpha$ on yksi ratkaisu x=α, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}}}$ tai $x=\pi-\alpha+n\cdot2\pi$

Esim. Ratkaise yhtälö $\sqrt[]{2}\cos x+1=0$

$\sqrt[]{2}\cos x+1=0$
$\sqrt[]{2}\cos x=-1$
$\cos x=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

MAOL: yksi ratkaisu on $x=\frac{3\pi}{4}$

koska

$\cos\frac{3\pi}{4}=\cos\left(-\ \frac{3\pi}{4}\right)$ , niin $x=-\frac{3\pi}{4}$ on ratkaisu

Kaikki ratkaisut ovat $x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause: Jos yhtälöllä

$\cos x=\alpha$ on yksi ratkaisu x=α, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=-\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

t.173

$2\sin\frac{x}{3}+\sqrt[]{2}=0$

$2\sin\frac{x}{3}=-\sqrt[]{2}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{2}{2\sqrt[]{2}}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ '

MAOL: Kulman $\frac{5\pi}{4}$ sini on $-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$
$\frac{x}{3}=\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi$ tai $\frac{x}{3}=\pi-\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{15\pi}{4}+n\cdot6\pi$ tai $x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot6\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Selvitetään, mitkä ratkaisut ovat välillä ]-12π,12π[ eli ]-48π,48π[

$n=0:\ x=\frac{15\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{3\pi}{4}$

$n=1:\ x=\frac{15\pi}{4}+6\pi=\frac{39\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi=\frac{21\pi}{4}$
$n=-1:\ x=-\frac{9\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{27\pi}{4}$
$n=2:\ x=\frac{63\pi}{4}\left(hyl.\right)\ tai\ x=\frac{45\pi}{4}$
$n=-2:\ x=\frac{33\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{59\pi}{4}\left(hyl.\right)$
$n=-3:\ x=-\frac{57\pi}{4}\left(hyl.\right)$

Ratkaisutista halutulle välille kuuluvat

$-\frac{33\pi}{4}{,}-\frac{27\pi}{4}{,}-\frac{9\pi}{4}{,}-\frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{15\pi}{4}{,}\frac{21\pi}{4}{,}\frac{39\pi}{4}{,}\ \frac{45\pi}{4}$

Esim. Ratkaise

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin2x$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-2x\right)$
$x+\frac{\pi}{2}=-2x+n\cdot2\pi$ tai $x+\frac{\pi}{2}=\pi+2x+n\cdot2\pi$
$x+\frac{\pi}{2}=-2x+n\cdot2\pi$
$x+2x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$3x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{2}{3}\pi$

$x+\frac{\pi}{2}=\pi+2x+n\cdot2\pi$

$x-2x=\pi-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

$-x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

$x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{2}{3}\pi$ tai $x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Kpl.1.3

Esim. Laske ilmna laskinta

$\sin\ \left(-240°\right)=-\sin240°=-\left(-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

b)
$\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

c) Osoita, että $\sin\frac{\pi}{5}=\sin\frac{4\pi}{5}$

$\sin\frac{\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{4\pi}{5}$

Lause: Kaksinkertaisen kulman sini ja kosini

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ \ \ \ \ \left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\right)$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$

Esim. Tidetään, että $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ . Määritä cos2α ja sin2α

$\cos2\alpha=2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2-1=2\cdot\frac{16}{25}=\frac{32}{25}-1=1\frac{7}{25}-1=\frac{7}{25}=0{,}28$

$\left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2=1$
$\left(\sin\alpha\right)^2=1-\left(\cos\alpha\right)^2$
$\left(\sin\alpha\right)^2=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2$
$\left(\sin\alpha\right)^2=1-\frac{16}{25}$
$\left(\sin\alpha\right)^2=\frac{9}{25}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[]{}$
$\sin\alpha=\pm\frac{3}{5}=\pm0{,}6$

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\sin2\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=0{,}96$

tai

$\sin2\alpha=2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{4}{5}=-0{,}96$

Kpl.1.2

Määritä taulukkokirjan avulla

$\sin30°$

$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Etsitään välin [0,2π] kulma, jolla on sama kehäpiste kuin kulmalla $-\frac{\pi}{6}$ . Lisätään kulmaan $-\frac{\pi}{6}$ täysiä kulmia, kunnes saadaan postiivinen kulma.

$-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}$