Kpl.3.2

Lause

Tangenttifunktiolle $f\left(x\right)=\tan x$ pätee:

- Funktio on määritelty, kun $x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

- Arvojoukko on ]-∞,∞[ eli ℝ

- Jatkuva määrittelyjoukossaan

- Funktio on jaksollinen, perusjakso on π

- Funktio on kasvava kaikilla määtittelyjoukkonsa osaväleillä

Esim. Ratkaise yhtälö geogebralla arvioiden ja ilman apuvälineitä

a) $\tan x=2+\sqrt[]{3}$

Geogebra: $x\approx1{,}31+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

MAOL: Eräs ratkaisu on $x=\frac{5\pi}{12}$ . Kaikki ratkaisut ovat $x=\frac{5\pi}{12}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$\tan3x=\tan\frac{4\pi}{7}$

Geogebralla: $x\approx0{,}6+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$
$\tan3x=\tan\frac{4\pi}{7}$
$3x=\frac{4\pi}{7}$
$x=\frac{4\pi}{21}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause

Jos $x=\alpha$ on yhtälön $\tan x=\alpha$ eräs ratkaisu, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Esim. Ratkaise yhtälö

$4\cdot\sin x=-2\cdot\cos\ x\ \left|\right|:\cos x{,}\ x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$4\frac{\sin x}{\cos x}=-2$

$\tan x=-\frac{1}{2}$

Jos

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi$ , niin $\sin x=\pm1$ ja $\cos x=0$ eli yhtälö on epätosi.

Lause

$D\tan x=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x{,}\ kun\ x\ne\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{\mathbb{Z}}$

Todistus

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^{^2}}$ $D\sin x=\cos x$ $D\cos x=-\sin x$

$D\tan x=D\ \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

tai

$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\frac{\left(\sin x\right)^2}{\left(\cos x\right)^{^2}}=1+\left(\tan x\right)^2=1+\tan^2x$