Kpl.4.3

446

$f\left(x\right)=\cos2x+2\sin x$

Sinifunktion sinx perujakso on 2π ja cos2x perusjakso on 2π/2=π. Funktion cos2 arvot toistuvat samoina π:n välein

ja myös 2π:n välein. Siis funktioniden sinix ja cos2x arvot toistuvat samoina 2π:n välein eli funktion f(x) jakso on 2π.

Riittää etsiä funktion f(x) suurin ja pienin arvo välillä [0,2π].

Suljetulla välillä jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin pätepisteisä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

$f'\left(x\right)=-2\sin2x+2\cos x$

$f'\left(x\right)=0$

$-2\sin2x+2\cos x=0$
$-2\cdot2\sin x\cos x+2\cos x=0$
$2\cos x\left(-2\sin x+1\right)=0$
$2\cos x=0$
$\cos x=0$
$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi\ \$

$-2\sin x+1=0$
$-2\sin x=-1$
$\sin x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi$

tai

$x=\pi-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi=\frac{5\pi}{6}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Välillä [0,2π] ovat nollatkohdat

$x=\frac{\pi}{2}{,}\ x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}{,}\ x=\frac{\pi}{6}{,}\ x=\frac{5\pi}{6}$

Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja välillä olevissa derivaatan nollakohdissa

$f\left(0\right)=\cos\left(2\cdot0\right)+2\sin0=1+2\cdot0=1$
$f\left(2\pi\right)=\cos\left(2\cdot2\pi\right)+2\sin\left(2\pi\right)=1+2\cdot0=1$
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-3$
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}$

Arvojoukko om [-3,3/2]