Kertaus

Teksti

Tiheysfunktion määritelmä

$f\left(x\right)\ge0$
$A=\int_{-\infty}^{\ \infty}f\left(x\right)dx=1$

Koska f(x) on oltava suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, tarkastellaan ylempi funktion a(x+3) integraali funktio

$\int_{-2}^2a\left(x+3\right)=1$

Koska

$\int_{-2}^2\left(x+3\right)=12$

a on oltava $\frac{1}{12}$

$\int_{-2}^2\frac{1}{12}\left(x+3\right)=1$

eli

$f\left(x\right)\begin{cases} \frac{1}{12}\left(x+3\right){,}&kun\ -2\le x\le2\\ 0{,}&kun\ x<-2\ tai\ x>2 \end{cases}$

$\begin{array}{l|l} x&P\left(X=x\right)\\ \hline 1&\frac{1}{12}\left(1+3\right)=\frac{1}{3} \end{array}$

Teksti

Tutkimuksessa todettiin, että 200 gramman keksipakkausten massan keskiarvo oli 204 g ja keskihajonta 6 g. Oletetaan, että massa on normaalisti jakautunut. Kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli alle 200 g? Kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli välillä 200 g - 210 g? (K01/7)

Ratkaisut:

Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa $N\left(204{,}6\right)$

$P\left(X<200\right)=P\left(X\le200\right)$
$Z=\frac{x-204}{6}$ noudattaa normitettua normaalijakaumaa. $N\left(0{,}1\right)$

Siis

$P\left(X\le200\right)=P\left(Z\le\frac{200-204}{6}\right)=P\left(Z\le-0{,}667\right)=\Phi\left(0{,}667\right)=1-\Phi\left(0{,}667\right)=1-0{,}7486=0{,}2514=14\%$

$P\left(200\le X\le210\right)=P\left(\frac{200-204}{6}\le Z\le\frac{210-204}{6}\right)=P\left(-0{,}67\le Z\le1\right)=\Phi\left(1\right)-\Phi\left(-0{,}67\right)=\Phi\left(1\right)-1+\Phi\left(0{,}67\right)=0{,}8413-1+0{,}7486=0{,}588852\approx0{,}59=0{,}59\%$

Oletetaan, että väestön älykkyysosamäärä noudattaa normaalijakaumaa N(100,15). Määritä odotusarvon ympäriltä symmetrinen väli, johon kuuluu täsmälleen puolet väestöstä. (K15/6)

Älykkyysosamäärä satunnaismuuttuja X

$P\left(100-a\le X\le100+a\right)=0{,}50$

Normitetaan satunnaismuuttuja X noudattaamaan jakauma N(0,1). Jolloin

$P\left(\frac{100-a-100}{15}\le Z\le\frac{100+a-100}{15}\right)=P\left(-\frac{a}{15}\le Z\le\frac{a}{15}\right)=0{,}50$

$\Phi\left(\frac{a}{15}\right)-\Phi\left(-\frac{1}{15}\right)=0{,}50$
$\Phi\left(\frac{a}{15}\right)-1+\Phi\left(-\frac{a}{15}\right)=0{,}50$

$2\Phi\left(\frac{a}{15}\right)-1=0{,}50$

$\Phi\left(\frac{a}{15}\right)=0{,}75=\Phi\left(0{,}67\right)=0{,}7486$
$\frac{a}{15}\approx0{,}67$
$a\approx10{,}05$

N. 50% väestöstä kuuluu siis älykkyysosamäärävälille [90,100]

Laskimella

$P\left(100-a\le X\le100+a\right)=P\left(X\le100+a\right)-P\left(X\ge100-a\right)$

$=P\left(X\le100+a\right)-1+P\left(X\le100+a\right)$

$2P\left(X\le100+a\right)-1=0{,}50$

$P\left(X\le100+a\right)=0{,}75$

$\frac{4}{3-2x}<0{,}\ x\ne\frac{3}{2}$

$\frac{4}{\frac{3-2x}{4}}<\frac{0}{4}$
$\frac{1}{3-2x}<0$

Selvitetään nimittäjän merkki

$3-2x<0$

$-2x<-3$
$x>\frac{3}{2}$

Laatikossa on 7 punaista , 8 sinistä ja 5 mustaa palloa. Millä todennäköisyydellä

a) Nostetaan 2 samanvääristä palloa

b) Nostetaan vähintään 3 punaista, kun kaikkiaan nostetaan 4 palloa?

P(2 samanväristä)=P(2p tai 2s tai 2m)

(Tapahtumat erillisiä)

$=P\left(2p\right)+P\left(2s\right)+P\left(2m\right)$

$=P\left(1.p\ ja\ 2.p\right)+P\left(1.s\ ja\ 2.s\right)+\ P\left(1.m\ ja\ 2.m\right)$

$=P\left(1.p\right)\cdot P\left(2.p\right)+P\left(1.s\right)\cdot P\left(2.s\right)+\ P\left(1.m\right)\cdot P\left(2.m\right)$

$=P\left(1.p\right)\cdot P\left(\frac{2.p}{1.p}\right)+P\left(1.s\right)\cdot P\left(\frac{2.s}{1.s}\right)+\ P\left(1.m\right)\cdot P\left(\frac{2.m}{1.m}\right)$

$=\frac{7}{20}\cdot\frac{6}{19}+\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19}+\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}$

$=\frac{59}{190}\approx0{,}31$

Kakki alkeistapaukset ovat kaikki mahdolliset 4 pallon joukot eli $\binom{20}{4}$

$P\left(väh\ 3p\right)=P\left(3p\ tai\ 4p\right)=P\left(3p\right)+P\left(4p\right)$

Kun 3 punaista nostetaan, nostetaan 1 muuvärinen , eri tapoja on tällöin $\binom{7}{3}\cdot\binom{13}{1}$

Kun 4 punaista voidaan nostaa $\binom{7}{4}$ eri tavalla.

$P\left(3p\right)+P\left(4p\right)=\frac{\binom{7}{3}\cdot\binom{17}{1}}{\binom{20}{4}}+\frac{\binom{7}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{98}{969}\approx0{,}10$