Kpl.1.4

Esim. Ratkaise kaikki kulmat x, jolle $\sin x=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

MAOL: Kulmat $x=\frac{\pi}{4}$ on yhtälön eräs ratkaisu

koska $\sin\frac{\pi}{4}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ , niin myös $x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ on yhtälön ratkaisu

kaikki ratkaisut ovat

$x=\frac{\pi}{4}+n\cdot2\ \pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause: Jos yhtälöllä $\sin x=\alpha$ on yksi ratkaisu x=α, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}}}$ tai $x=\pi-\alpha+n\cdot2\pi$

Esim. Ratkaise yhtälö $\sqrt[]{2}\cos x+1=0$

$\sqrt[]{2}\cos x+1=0$
$\sqrt[]{2}\cos x=-1$
$\cos x=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

MAOL: yksi ratkaisu on $x=\frac{3\pi}{4}$

koska

$\cos\frac{3\pi}{4}=\cos\left(-\ \frac{3\pi}{4}\right)$ , niin $x=-\frac{3\pi}{4}$ on ratkaisu

Kaikki ratkaisut ovat $x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Lause: Jos yhtälöllä

$\cos x=\alpha$ on yksi ratkaisu x=α, niin kaikki ratkaisut ovat $x=\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$ tai $x=-\alpha+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

t.173

$2\sin\frac{x}{3}+\sqrt[]{2}=0$

$2\sin\frac{x}{3}=-\sqrt[]{2}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{2}{2\sqrt[]{2}}$
$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ '

MAOL: Kulman $\frac{5\pi}{4}$ sini on $-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$

$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}$
$\frac{x}{3}=\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi$ tai $\frac{x}{3}=\pi-\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{15\pi}{4}+n\cdot6\pi$ tai $x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot6\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

Selvitetään, mitkä ratkaisut ovat välillä ]-12π,12π[ eli ]-48π,48π[

$n=0:\ x=\frac{15\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{3\pi}{4}$

$n=1:\ x=\frac{15\pi}{4}+6\pi=\frac{39\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi=\frac{21\pi}{4}$
$n=-1:\ x=-\frac{9\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{27\pi}{4}$
$n=2:\ x=\frac{63\pi}{4}\left(hyl.\right)\ tai\ x=\frac{45\pi}{4}$
$n=-2:\ x=\frac{33\pi}{4}\ tai\ x=-\frac{59\pi}{4}\left(hyl.\right)$
$n=-3:\ x=-\frac{57\pi}{4}\left(hyl.\right)$

Ratkaisutista halutulle välille kuuluvat

$-\frac{33\pi}{4}{,}-\frac{27\pi}{4}{,}-\frac{9\pi}{4}{,}-\frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{15\pi}{4}{,}\frac{21\pi}{4}{,}\frac{39\pi}{4}{,}\ \frac{45\pi}{4}$

Esim. Ratkaise

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin2x$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-2x\right)$
$x+\frac{\pi}{2}=-2x+n\cdot2\pi$ tai $x+\frac{\pi}{2}=\pi+2x+n\cdot2\pi$
$x+\frac{\pi}{2}=-2x+n\cdot2\pi$
$x+2x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$3x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{2}{3}\pi$

$x+\frac{\pi}{2}=\pi+2x+n\cdot2\pi$

$x-2x=\pi-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

$-x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
$x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

$x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{2}{3}\pi$ tai $x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$