Kpl.2.1

Molemmille funktiolle Esim. Määritä funktion arvojoukko, kun

$f\left(x\right)=\sin x$ ja $g\left(x\right)=\cos x$ pätee:

- Funktio on määritelty x∈ℝ

- Funktion arvojoukko on [-1,1]

- Funktio on jatkuva

- Funktion kuvaaja toistuu samanlaisena 2π:n välein

Esim Määritä funktion joukko, kun

$f\left(x\right)=3\sin x-2$

$-1\le\sin x\le1\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot3$
$-3\le3\sin x\le3\ \ \ \ \ \left|\right|-2$

$-5\le3\sin x-2\le1$

$-5\le f\left(x\right)\le1$

eli arvojoukko on [-5,1]

Lause

Funktioiden

$f\left(x\right)=\sin\left(Cx+D\right)$ ja $g\left(x\right)=\cos\left(Cx+D\right)$ , missä C>1, perusjakso on $\frac{2\pi}{C}$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$

$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$

214

$f\left(x\right)=3\sin2x+5$

Arvo kohdassa x=0

$f\left(0\right)=3\cdot\sin\left(2\cdot0\right)+5=3\cdot0+5=5$

Nollakohdat: Ratkaistaan yhtälö $f\left(x\right)=0$

$3\cdot\sin2x+5=0$
$3\cdot\sin2x=-5$

$\sin2x=-\frac{5}{3}$

sinin arvot ovat välillä [-1,1], joten yhtälöllä ei ole ratkaisua, eikä funktiolla ole nollakohtia.

$-1\le\sin x\le1$

$-1\le\sin2x\le1\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot3$
$-3\le3\sin2x\le3\ \ \ \ \ \left|\right|+5$
$2\le3\sin2x+5\le8$

$2\le f\left(x\right)\le8$

Arvojoukko on [2,8]