Kpl.4.1

Määritelmä

Lauseke $u\left(s\left(x\right)\right)$ on funktioiden $u\left(x\right)$ ja $s\left(x\right)$ yhdistetty funktio

$u\left(x\right)$ on ulkofunktio ja $s\left(x\right)$ on sisäfunktio

Määtitään $\left(u\circ s\right)\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right)$

Esim. Muodosta

a) $u\left(x\right)^2$ ja $s\left(x\right)^2=3x+1$

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(3x+1\right)^2$

$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=s\left(u\left(x\right)\right)=s\left(x\right)^2=3x^2+1$

b)

$u\left(x\right)=\cos x$ ja $s\left(x\right)=x^2+1$

$\left(u\circ s\right)=u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(x^2+1\right)=\cos\left(x^2+1\right)$

$\left(\left(s\circ u\right)=s\left(u\left(x\right)\right)=s\left(\cos x\right)=\left(\cos x\right)^2+1=\cos2x+1\right)$

Huom! yleensä

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ne\left(s\circ u\right)\left(x\right)$

Esim.Tulkitse yhdistetyksi funktioksi

a)

$f\left(x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$

$s\left(x\right)=3x^2+2x$ , $u\left(x\right)=x^2$

Tällöin

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(3x^2+2x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$

b)

$g\left(x\right)=\frac{3}{1+\sin x}$

Tapa 1:

$s\left(x\right)=1+\sin x$ , $u\left(x\right)=\frac{3}{x}$

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(\frac{3}{1+\sin x}\right)$

Tapa 2:

$s\left(x\right)=\sin x$ , $u\left(x\right)=\frac{3}{1+x}$

$u\left(s\left(x\right)\right)=u\left(\frac{3}{1+\sin x}\right)$