3.2 Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Vaillinainen 2. asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on yleisesti muotoa [[$ax^2+bx+c=0, a\neq 0$]]. Kaikki polynomiyhtälöt, joissa muuttujan korkein asteluku on 2, voidaan muuttaa tähän muotoon. Yhtälöä kutsutaan vaillinaiseksi, jos [[$b=0$]] tai [[$c=0$]], eli ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi puuttuu. Yhtälöä [[$ax^2+bx+c=0$]], jossa on mukana kaikkien astelukujen termit, kutsutaan täydelliseksi toisen asteen yhtälöksi.

[[$ \textrm{ Yhtälö }ax^2+c=0, \text{ } a\neq 0$]]

Jos yhtälöstä puuttuu 1. asteen termi, yhtälöstä ratkaistaan ensi [[$x^2$]] ja sen jälkeen [[$x$]] ratkeaa neliöjuuren avulla.

Kun yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi, yhtälön ratkaiseminen perustuu sääntöön

[[$$ x^2=a \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}. $$]]


Sääntöä voidaan soveltaa, kun ratkaistaan yhtälöstä ensin neliö [[$x^2$]].

[[$$\begin{eqnarray} &ax^2 + c&=&0 \Leftrightarrow ax^2&=&-c \\ \Leftrightarrow &x^2&=&-\frac{c}{a} \Leftrightarrow x&=&\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}, \textrm{ (ehto }-\frac{c}{a} \geq 0 )\end{eqnarray}$$]]

Alla olevassa kuvassa on esitetty yhtälön [[$x^2=5$]] ratkaisut, jotka ovat funktion [[$x^2-5$]] nollakohtia.

Yhtälön ratkaisuna saadaan [[$x=\pm \sqrt{5}$]], joka on pyöristettynä [[$x =2,336... \approx 2,24$]].



Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöt
a) [[$5x^2-60=0$]]
b) [[$-2x^2-6=0$]]

Ratkaisu:
a) \begin{eqnarray} 5x^2-60&=&0 \\
5x^2&=&60 \Big| :5 \\
x^2&=&12 \Big| \sqrt{\quad} \\
x&=&\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\end{eqnarray}

b) \begin{eqnarray} -2x^2-6&=&0 \\
-2x^2&=&6 \quad \Big| :(-2) \\
x^2&=&-3 \quad \Big| \textrm{Nyt negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta.} \\
\textrm{Yhtälöllä ei ole ratkaisua}
\end{eqnarray}

[[$ \text{Yhtälö }ax^2+bx=0$]]

Ongelma: Millä ehdolla kertolasku [[$a \cdot b=0$]]?

Kertolaskun tulos on nolla vain, jos vähintään yksi tulon tekijöistä on nolla. Tämä sääntö tunnetaan tulon nollasääntönä.

[[$ a \cdot b=0 \Leftrightarrow a=0 \textrm{ tai } b=0 $]]
sama pätee myös useammalle tekijälle:
[[$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n = 0 \Leftrightarrow a_1=0 \textrm{ tai } a_2=0 \textrm { tai } ... \textrm{ tai } a_n=0 $]]


Esimerkki 2

Ratkaise [[$(x+2)(2x-6)=0$]].

Ratkaisu:
Yhtälön vasen puoli on tulo, koska laskujärjestyksessä viimeinen toimenpide on kertolasku. Tulon nollasäännöllä saadaan

[[$ x+2=0 \textrm{ tai } 2x-6=0 \Leftrightarrow x=-2 \textrm{ tai } 2x=6$]],
josta saadaan ratkaisut [[$x=-2 \textrm{ tai } x=3 $]]

Vastaus: [[$x=-2 \textrm{ tai } x=3 $]]


Kun yhtälöstä puuttuu vakiotermi, yhtälön ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön.
Yhtälö [[$ax^2+bx=0$]] voidaan muuttaa tulomuotoon ottamalla tuntematon [[$x$]] yhteiseksi tekijäksi.

[[$$ax^2+bx=0 \Leftrightarrow x(ax+b)=0$$]].


Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö [[$2x^2-7x=0$]].

Ratkaisu:
[[$2x^2-7x=0 \Leftrightarrow x(2x-7)=0 $]]
[[$ \Leftrightarrow 2x=0 \textrm{ tai } 2x-7=0 $]]
[[$\Leftrightarrow x=0 \textrm{ tai } x=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2} $]]

Vastaus: [[$x=0 \textrm{ tai } x=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2} $]]


Tekijöihin jakamisessa voidaan käyttää myös niin sanottua ryhmittelyä.


Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö [[$x^2+5x-3(2x+10)=0$]].

Ratkaisu:
 [[$x^2+5x-3\cdot2(x+5)=0 \Leftrightarrow x(x+5)-3\cdot2(x+5)=0$]]
Otetaan lauseke [[$x+5$]] yhteiseksi tekijäksi:
[[$(x+5)(x-6)=0$]], josta [[$x+5=0$]] tai [[$x-6=0$]].

Vastaus: [[$x=-5$]] tai [[$x=6$]].