[[$S_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$]]

[[$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+⋯+(a_1+(n-1)d)$]]

Merkitään viimeistä jäsentä [[$a_n$]] ja kirjoitetaan summalauseke uudestaan
[[$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+⋯+a_n$]]

Kirjoitetaan summalauseke päinvastaisessa järjestyksessä ja merkitään viimeistä jäsentä [[$a_n$]], toiseksi viimeistä jäsentä [[$a_n-d$]], kolmanneksi viimeinen on [[$a_n-2d$]]
[[$S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+⋯+a_1$]]


Lasketaan nämä kaksi yhtälöä yhteen

[[$\begin{align}&\quad S_n = a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+a_n\ &\underline{+ \, S_n = a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+\cdots+a_1 \quad \quad\quad\quad\qquad} \end{align}$]]
[[$2S_n =(a_1+a_n )+(a_1+a_n )+(a_1+a_n )+⋯+(a_1+a_n )$]]

[[$2S_n=n·(a_1+a_n)$]]


Jaetaan kahdella ja saadaan summan kaava

[[$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$]]