4. YKSINKERTAISET VIRTAPIIRIT JA SÄHKÖTEHO (451–463)

455. Akun sisäinen resistanssi

Akun napajännitteeksi mitataan 22,5 V, kun akusta otetaan 1,35 A:n sähkövirta. Kun otettava sähkövirta on 1,80 A, mitataan napajännitteeksi 21,9 V. Määritä akun sisäinen resistanssi ja lähdejännite.

Ratkaisu

Lähdejännite E, napajännite U, jännitelähteestä otettava virta I ja sisäinen resistanssi RS riippuvat toisistaan seuraavasti: [[$U=E-R_SI$]]. Tehtävänannon tiedoista saadaan yhtälöpari:

[[$\begin{equation}\begin{cases}22,5\text{ V}&=E-R_S\cdot 1,35\text{ A} \\ 21,9\text{ V}&=E-R_S\cdot 1,80\text{ A} \\ \end{cases}\end{equation}$]]

Laskinohjelmistolla saadaan tästä ratkaisuksi

[[$E=24,3\text{ V} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_S=1,333\dots \Omega\approx 1,33 \ \Omega$]]

457. Pariston oikosulkuvirta

9 voltin paristossa oli merkintä 620 mAh. Käyttämättömän irrallisen pariston napajännitteeksi mitattiin 9,506 V. Kun paristoon kytkettiin 4 750 Ω:n vastus, napajännitteeksi mitattiin 9,502 V.

  1. Laske pariston oikosulkuvirta.
  2. Kuinka nopeasti paristo tyhjenee, jos se kytketään oikosulkuun?


Ratkaisu

a) Oikosulkuvirta tarkoittaa virtaa, joka paristosta lähtee kun sen navat kytketään suoraan toisiinsa. Tällöin virtaa vastustaa vain pariston sisäinen resistanssi. Irrallisen pariston napajännite on sama kuin lähdejännite, eli [[$E=9,506\text{ V}$]]. Kirchhoffin II lain mukaan [[$E-R_SI=U$]] ja toisaalta Ohmin lain mukaan [[$U=RI$]]. Näistä yhtälöistä voidaan ratkaista sisäinen resistanssi:

[[$\begin{align*}R_S&=\dfrac{E-U}{I}=\dfrac{E-U}{\dfrac{U}{R}}=\dfrac{\left(E-U\right)R}{U} \\ \,\\&=\dfrac{\left(9,506\text{ V}-9,502\text{ V}\right)\cdot 4750 \ \Omega}{9,502\text{ V}}=1,99957\dots \Omega\approx 1,9996 \ \Omega \\ \end{align*}$]]


Kun sisäinen resistanssi tiedetään, oikosulkuvirta voidaan laskea Ohmin lailla. Lähdejännitteen aikaansaamaa virtaa vastustaa vain sisäinen resistanssi: [[$E=R_SI$]]. Virraksi saadaan

[[$I=\dfrac{E}{R_S}=\dfrac{9,506\text{ V}}{1,9996 \ \Omega}=4,7539\dots\text{A}\approx 4,75\text{ A}$]]


b) Oletetaan, että virta pysyy samana (todellisuudessa se pienentyy hiljalleen pariston tyhjentyessä). Siirtynyt varaus on virta kertaa aika: [[$\Delta Q=It$]]. Aika voidaan ratkaista:

[[$t=\dfrac{\Delta Q}{I}=\dfrac{0,620\text{ Ah}}{4,754\text{ A}}=0,1304\dots\text{h}\approx 7\text{ min } 49\text{ s}$]]

460. Sarjaankytkennän vaikutus tehoon

Kaksi lamppua, joissa on merkinnät 30 W, 230 V ja 60 W, 230 V, kytketään sarjaan 230 V:n jännitteeseen. Kuinka suuri on tällöin 30 W:n lampun tehonkulutus? Lamppujen resistanssin muutosta ei oteta huomioon.


Ratkaisu:

Ohmin lain mukaan

[[$ \begin{align} R&=\dfrac{U}{I}\\ \, \\ I&=\dfrac{U}{R} \end{align} $]]​​

Sähkötehon määritelmän perusteella voidaan ratkaista lamppujen resistanssit.

[[$ \begin{align} P&=UI=U \dfrac{U}{R}=\dfrac{U^2}{R}\\ \, \\ PR&=U^2\\ \, \\ R&=\dfrac{U^2}{P} \end{align} $]]​​​


Lamppu 1:

[[$ R=\dfrac{(230 \text{ V})^2}{60 \text{ W}}=881,66\dots\Omega \approx 881,7 \text{ } \Omega $]]​


Lamppu 2:

[[$ R=\dfrac{(230 \text{ V})^2}{30 \text{ W}}=1763,33\dots\Omega \approx 1763,3 \text{ } \Omega $]]​


Sarjaankytkennässä kokonaisresistanssi on

[[$ 881,7 \text{ } \Omega +1763,3 \text{ } \Omega = 2645,0\text{ } \Omega $]]​


Molemmissa lampuissa on tällöin yhtä suuri sähkövirta, joka on Ohmin lain mukaan

[[$ I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{230 \text{ V}}{2645,0\text{ } \Omega }=0,08695\dots\text{A} \approx 0,0870\text{ A} $]]​

30 watin lampun tehonkulutus on siis

[[$ P=RI^2=1763,3 \text{ } \Omega \cdot (0,0870\text{ A})^2=13,3\dots\text{W} \approx 13 \text{ W} $]]​

461. Sähkölaite eri sähköverkoissa

  1. Ohessa on Suomessa käytettäväksi suunnitellun valaisimen tietokilpi. Mitä tapahtuu, jos laite kytketään Yhdysvaltain sähköverkkoon, jossa tehollinen jännite on 120 V?
  2. Mitä tapahtuisi kytkettäessä Suomen sähköverkkoon laite, joka on suunniteltu käytettäväksi Yhdysvalloissa?





Ratkaisu

a. Valaisimessa on tietokilven mukaan kaksi samanlaista 36 W teholla toimivaa komponenttia (polttimoa). Nämä toimivat vastuksen tavoin eli niillä on tietty resistanssi ja ne noudattavat Ohmin lakia.

[[$ R=\dfrac{U}{I}\\ \, \\ I=\dfrac{U}{R} $]]​​

Sähkötehon määritelmän nojalla voidaan ratkaista polttimon resistanssi.

[[$ \begin{align} P&=UI=U \dfrac{U}{R}=\dfrac{U^2}{R}\\ \, \\ PR&=U^2\\ \, \\ R&=\dfrac{U^2}{P}=\dfrac{(230 \text{ V})^2}{36 \text{ W}} \approx 1469,4 \text{ } \Omega \end{align} $]]​​​


Yhdysvalloissa, 120 V jännitteessä, resistanssi on sama. Teho on tällöin

[[$ P=\dfrac{(120 \text{ V})^2 }{1469,4 \text{ } \Omega} \approx 9,8 \text { W} $]]​​​

Teho on pienempi kuin Suomessa eli valaisin on himmeämpi. Valaisin ei mene rikki.


b. Vastuksen teho määräytyy yllä johdetun kaavan mukaan.

[[$ P=\dfrac{U^2}{R} $]]​​​

Polttimon resistanssi on käyttöjännitteestä riippumaton vakio. Jos valaisin on suunniteltu tiettyyn tehontuottoon (kirkkauteen) Yhdysvalloissa, on teho suurempi Suomessa, jossa jännite on suurempi. Suunniteltua suurempi teho saattaa rikkoa laitteen.