5. HAARAUTUVAT VIRTAPIIRIT (551–563)

552. Haarautuva virtapiiri

Määritä sähkövirrat kuvan piirin eri kohdissa. Jännitelähteen sisäinen resistanssi on merkityksettömän pieni.

Ratkaisu

Ratkaistaan ensin kokonaisvirta määrittämällä piirin kokonaisresistanssi. Vastukset 2 ja 3 ovat kytkettynä rinnan. Siispä niiden kokonaisresistanssi on

[[$\quad R_{23}=\left(\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}\right)^{-1}$]]

[[$\quad R_{23}=\left(\dfrac{1}{35 \ \Omega}+\dfrac{1}{22 \ \Omega}\right)^{-1}=13{,}5087$]]

Vastusten 2 ja 3 muodostama kokonaisuus sekä vastus 1 ovat kytkettynä sarjaan. Siispä niiden kokonaisresistanssi on

[[$\quad R_\text{kok}=R_{23}+R_1$]]

[[$\quad R_\text{kok}=13{,}5087 \ \Omega + 65 \ \Omega=78{,}5087 \ \Omega$]]

Ohmin lain mukaan [[$U=RI$]]. Tästä voidaan ratkaista kokonaisvirta.

[[$\quad I=\dfrac{U}{R_\text{kok}}$]]

[[$\quad I=\dfrac{12\text{ V}}{78{,}5087 \ \Omega}=0{,}15285 \ \text{A}\approx 150\text{ mA}$]]

Ratkaistaan vastusksen 2 haarassa kulkeva sähkövirta Kirchhoffin II lain yhtälöistä.

[[$\quad U-R_1I-R_2I_2=0$]]

[[$\quad I_2=\dfrac{U-R_1I}{R_2}$]]

[[$\quad I_2=\dfrac{12 \ \mathrm{V}-65 \ \Omega \cdot 0{,}15285 \ \mathrm{A}}{35 \ \Omega}=0{,}058994 \ \mathrm{A}\approx 59 \ \mathrm{mA}$]]

Ratkaistaan sähkövirta vastuksen 3 haarassa Kirchhoffin I lain avulla.

[[$\quad I=I_2+I_3$]]

[[$\quad I_3=I-I_2$]]

[[$\quad I_3=0{,}15285 \ \mathrm{A}-0{,}058994 \ \mathrm{A}=0{,}093856 \ \mathrm{A}\approx 94 \ \mathrm{mA}$]]

(Sähkövirran [[$I_3$]] voi ratkaista myös kirjoittamalla Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö, jossa mukana on vastus 3.

[[$\quad U-R_1I-R_3I_3=0$]]

[[$\quad I_3=\dfrac{U-R_1I}{R_3}$]])

553. Sähkövirran määritys

Virtapiirissä jännitelähteen lähdejännite on 3,00 V ja sisäinen resistanssi 0,65 Ω. Vastuksilla on resistanssi R = 10,0 Ω.

Kuinka suuri on jännitelähteestä lähtevän sähkövirran suuruus?
Mikä on vastuksen R napajännite?

Ratkaisu

a. Kirchhoffin I lain mukaan sähkövirta haarautuu

[[$ \quad I=I_1+I_2 $]]

Koska rinnankytketyt vastukset ovat samanlaiset kulkee niiden läpi Ohmin lain perusteella yhtä suuri sähkövirta. Sähkövirta [[$I_1$]] ja [[$I_2$]] ovat yhtä suuret ja puolet sähkövirrasta [[$I$]].

[[$\quad I_1=\frac{1}{2}I$]]

[[$\quad I_2=\frac{1}{2}I$]]

Kirchhoffin II lain mukaan [[$\sum \Delta V=0$]] saadaan yhtälö

[[$\quad E-IR_s-I_1R=0$]]

[[$\quad E-IR_s-\frac{1}{2}IR=0$]]

Ratkaistaan sähkövirran [[$I$]] lauseke.

[[$\quad I=\dfrac{E}{R_s+\frac{1}{2}R}$]]

[[$\quad I=\dfrac{3{,}00 \ \mathrm{V}}{0{,}65 \ \Omega +\frac{1}{2}\cdot 10{,}0 \ \Omega}=0{,}53097 \ \mathrm{A}\approx 0{,}53 \ \mathrm{A}$]]

Sähkövirrat [[$I_1$]] ja [[$I_2$]]

[[$\quad I_1=I_2=\frac{1}{2}\cdot I$]]

[[$\quad I_1=0{,}26549 \ \mathrm{A}\approx 0{,}27 \ \mathrm{A}$]]

[[$\quad I_2=0{,}26549 \ \mathrm{A}\approx 0{,}27 \ \mathrm{A}$]]

TAI

Tehtävän voi ratkaista myös muodostamalla Kirchhoffin lain mukaisista yhtälöryhmä

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} 3{,}00 \textrm{ V}-I\cdot 0{,}65\textrm{ }\Omega-I_1\cdot 10\textrm{ }\Omega=0\\ 3{,}00 \textrm{ V}-I\cdot 0{,}65\textrm{ }\Omega-I_2\cdot 10\textrm{ }\Omega=0\\ I=I_1+I_2 \end{cases} \end{equation} $]]

Saadaan sähkövirtojen suuruuksiksi

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} I= 0{,}53097\dots \textrm{ A}\approx 0{,}53 \textrm{ A}\\ I_1= 0{,}26548\dots \textrm{ A}\approx 0{,}27 \textrm{ A}\\ I_2= 0{,}26548\dots \textrm{ A}\approx 0{,}27 \textrm{ A} \end{cases} \end{equation} $]]

b. Vastuksen R napajännite saadaan Ohmin laista

[[$ \quad U=I_2R $]]

[[$ \quad U=0,26549 \mathrm{A}\cdot 10{,}0 \ \Omega = 2{,}6549 \ \mathrm{V}\approx 2{,}7 \ \mathrm{V}$]]

556. Siltakytkentä

Virtapiirissä on vastus, jonka tuntematon resistanssi [[$R_x$]] voidaan määrittää säätövastuksen avulla. Jännitelähteen napajännite on [[$24 \text{ V}$]], ja tunnetut resistanssit ovat [[$R_1=840 \ \Omega$]] ja [[$R_2=460 \ \Omega$]]. Voit muuttaa säätövastuksen resistanssin arvoa aineistona olevassa simulaatiossa.

Aineisto:
Laskentataulukko: Siltakytkenta_simulaatio.ods (LibreOffice)

Etsi säätövastuksen resistanssille suuruus, jolla jännitemittarin arvo on nolla. Mitä tiedetään tässä tilanteessa eri vastusten yli tapahtuvista potentiaalien muutoksista suhteessa toisiinsa?
Kumman vastuksen, [[$R_1$]] vai [[$R_s$]], läpi kulkee suurempi sähkövirta?
Ratkaise vastuksen [[$R_x$]] resistanssin suuruus.

Ratkaisu

Kun säätövastus on [[$R_s=584 \ \Omega$]], on jännitemittarin lukema nolla volttia.

Vastusten [[$R_1$]] ja [[$R_s$]] yli tapahtuvat potentiaalin muutokset ovat yhtä suuria. Samoin vastusten [[$R_2$]] ja [[$R_x$]] yli tapahtuvat potentiaalin muutokset ovat yhtä suuret.

Vastuksen 1 resistanssi, [[$R_1=820 \ \Omega$]], on suurempi kuin säätövastuksen resistanssi. Ohmin lain mukaan sähkövirta on sitä suurempi, mitä pienempi on resistanssi.

[[$\quad I=\dfrac{U_1}{R}$]]

Vastusten [[$R_1$]] ja [[$R_s$]] yli tapahtuva potentiaalin muutos eli jännite [[$U_1$]] on yhtä suuri. Koska vastuksen [[$R_s$]] resistanssi on pienempi, kulkee sen läpi suurempi sähkövirta.

Ohmin lain mukaan vastusten [[$R_1$]] ja [[$R_s$]] napajännitteet [[$U_1$]] ovat yhtä suuret, koska potentiaalit ovat samat vastusten etupuolella ja vastusten jälkeen.

[[$\quad U_1=R_1I_1=R_sI_s \Rightarrow \dfrac{I_1}{I_s}=\dfrac{R_s}{R_1}$]]

Vastusten [[$R_2$]] ja [[$R_x$]] yli tapahtuvat potentiaalin muutokset [[$U_2$]] ovat yhtä suuret, koska potentiaalit ovat yhtä suuret vastusten etupuolella ja vastusten jälkeen. Sähkövirta ei haaraudu jännitemittarin kohdalla, joten vastuksen [[$R_2$]] läpi kulkee sähkövirta [[$I_1$]] ja vastuksen [[$R_x$]] läpi sähkövirta [[$I_s$]].

[[$\quad U_2=R_2I_1=R_xI_s \Rightarrow \dfrac{I_1}{I_s}=\dfrac{R_x}{R_2}$]]

[[$\quad \dfrac{I_1}{I_s}=\dfrac{R_s}{R_1}=\dfrac{R_x}{R_2}$]]

Ratkaistaan vastuksen [[$R_x$]] lauseke.

[[$\quad R_x=\dfrac{R_sR_2}{R_1}$]]

Luetaan arvot simulaatiosta, kun jännitemittarin arvo on nolla volttia.

[[$\quad R_x=\dfrac{584 \ \Omega\cdot 460 \ \Omega}{820 \ \Omega}=327{,}6098 \ \Omega\approx 330 \ \Omega$]]

559. Auton avustettu käynnistys

Miltei tyhjentyneen auton akun lähdejännite on 10,7 V. Akku on kytketty käynnistysmoottoriin, jonka resistanssi on 0,45 Ω. Moottorin käynnistämiseksi akun rinnalle kytketään toinen akku, jonka lähdejännite on 13,0 V. Molemmilla akuilla on 0,12 Ω:n sisäinen resistanssi. Piirrä kytkentäkaavio ja laske käynnistysmoottoriin syntyvä sähkövirta.

Ratkaisu

Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Sigma \Delta V = 0$]]

[[$ \quad E_1-I_1R_s-I_3R_M=0\\ \quad E_2-I_2R_s-I_3R_M=0 $]]

Kirchhoffin I lain mukaan

[[$\quad I_1+I_2=I_3 $]]

[[$ \quad E_1=10{,}7 \text{ V}\\ \quad E_2=13{,}0 \text{ V}\\ \quad R_s=0{,}12 \text{ }\Omega\\ \quad R_M=0{,}45 \text{ }\Omega $]]

Ratkaistaan sähkövirrat I₁ ja I₂ Kirchhoffin II lain lausekkeista

[[$ \quad I_1=\dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}\\ \, \\ \quad I_2=\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s} $]]

Sijoitetaan edellä ratkaistut lausekkeet Kirchhoffin I lain lausekkeeseen

[[$ \begin{align}\quad I_1+I_2&=I_3\\ \, \\ \quad \dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}+\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s}&=I_3 \end{align} $]]

Ratkaistaan sähkövirta I₃

[[$ \begin{align} \quad E_1-I_3R_M+E_2-I_3R_M&=R_sI_3\\ \, \\ E_1+E_2&=R_sI_3+2R_MI_3\\ \, \\ E_1+E_2&=(R_s+2R_M)I_3\\ \, \\ I_3&=\dfrac{E_1+E_2}{R_s+2R_M} \end{align} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$\quad I_3=23{,}235\ldots \text{ A}\approx 23{,}2 \text{ A} $]]

Sähkövirtojen I₁ ja I₂ suuruudet saadaan lausekkeista

[[$\quad I_1=\dfrac{E_1-I_3R_M}{R_s}\\ \, \\ \quad I_2=\dfrac{E_2-I_3R_M}{R_s} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$\quad I_1=2{,}0343\ldots \text{ A}\approx 2{,}03 \text{ A}\\ \, \\ \quad I_2=21{,}200\ldots \text{ A}\approx 21{,}2 \text{ A} $]]

tai

Tilanteen voi ratkaista käyttäen yhtälöryhmää, joka muodostetaan Kirchhoffin lakien mukaisista lausekkeista

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} 10{,}7 \text{ V}-I_1\cdot 0{,}12\text{ }\Omega-I_3\cdot 0{,}45 \text{ }\Omega\\ 13{,}0 \text{ V}-I_2\cdot 0{,}12\text{ }\Omega-I_3\cdot 0{,}45 \text{ }\Omega\\ I_1+I_2=I_3 \end{cases} \end{equation} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$ \begin{equation} \quad \begin{cases} I_1= 2{,}0343\ldots \text{ A}\approx 2{,}03 \text{ A}\\ I_2= 21{,}200\ldots \text{ A}\approx 21{,}2 \text{ A}\\ I_3=23{,}235\ldots \text{ A}\approx 23{,}2 \text { A} \end{cases} \end{equation} $]]

561. Kolmen pariston kytkentä

Oheisessa kytkentäkaaviossa paristojen lähdejännitteet ovat E₁ = 6,0 V, E₂ = 12 V ja E₃ = 8,0 V. Paristojen sisäiset resistanssit ovat hyvin pieniä. Vastusten resistanssit ovat R₁ = 2,0 Ω, R₂ = 4,0 Ω ja R₃ = 3,0 Ω.

Laske vastusten läpi kulkevat virrat.
Kuinka suuri on jännite U_AB? Muuttuuko jännite, kun piste B maadoitetaan?

Ratkaisu

a.

Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö

[[$\quad I_1=I_2+I_3 $]]

Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt

[[$ \begin{align} \quad -E_1-I_3R_3+E_3-I_1R_1&=0\\ \, \\ -E_1+E_2-I_2R_2-I_1R_1&=0 \end{align} $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation}\quad \begin{cases} I_1=I_2+I_3\\ -6{,}0 \textrm{ V}-3{,}0 \textrm{ }\Omega\cdot I_3+8{,}0 \textrm{ V}-2{,}0 \textrm{ }\Omega \cdot I_1=0\\ -6{,}0 \textrm{ V}+12 \textrm{ V}-4{,}0\textrm{ }\Omega \cdot I_2-2{,}0\textrm{ }\Omega \cdot I_1=0 \end{cases} \end{equation} $]]

Saadaan ratkaisuksi

[[$ \begin{equation}\quad \begin{cases} I_1=1{,}0 \textrm{ A}\\ I_2=1{,}0 \textrm{ A}\\ I_3=0 \textrm{ A} \end{cases} \end{equation} $]]

b.

Pisteiden A ja B välillä ei kulje sähkövirtaa. Jännite on sama kuin pariston [[$E_3$]] napajännite. Pisteiden A ja B välinen jännite on 8,0 V.

Maadoitus ei muuta pisteiden välistä jännitettä. Pisteen B potentiaali on maadoituksen jälkeen 0 V. Koska sähkövirta [[$I_3$]] on nolla, muuttuu potentiaali vain paristossa [[$E_3$]]. Potentiaali kasvaa pariston napajännitteen verran, joten pisteen A potentiaali on 8,0 V. Jännite pisteiden A ja B välillä on edelleen 8,0 V.

562. Pienoisakkujen lataus

Kaksi pienoisakkua ladataan oheisen kytkennän mukaisesti.

Akkujen lähdejännitteet ovat 1,5 V ja sisäiset resistanssit 0,10 Ω. Lataavan jännitelähteen lähdejännite on 4,5 V ja sisäinen resistanssi 0,75 Ω. Kuinka suureksi säätövastuksen resistanssi pitää asettaa, jotta sen läpi kulkeva virta olisi 100 mA?

Ratkaisu

Merkitään laturin ja akkujen lähdejännitteitä E_akku ja E_laturi. Sisäiset resistanssit voidaan merkitä R_akku ja R_laturi. Säätövastuksen resistanssi on R.

Oletetaan sähkövirran kulkevan myötäpäivään ja merkitään laturista lähtevää sähkövirtaa I. Virta I jakautuu akkuihin kahteen yhtäsuureen osaan, sillä piirin haarat ovat samanlaiset. Akuissa on siis sähkövirta 0,5 I.

Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö

[[$ \quad E_{\text{laturi}}-IR_{\text{laturi}}-IR-0{,}5IR_{\text{akku}}-E_{\text{akku}}=0 $]]

Ratkaistaan lauseke säätövastuksen resistanssille R.

[[$\begin{align} \quad E_{\text{laturi}}-IR_{\text{laturi}}-IR-0{,}5IR_{\text{akku}}-E_{\text{akku}}&=0 \\ \\ E_{\text{laturi}}-IR_{\text{laturi}}-0{,}5IR_{\text{akku}}-E_{\text{akku}}&=IR\end{align}$]]

Säätövastuksen resistanssin lauseke

[[$\quad R=\dfrac{E_{\text{laturi}}-IR_{\text{laturi}}-0{,}5IR_{\text{akku}}-E_{\text{akku}}}{I}$]]

Resistanssin suuruus

[[$\quad R=\dfrac{4{,}5 \ \Omega -0{,}100 \ \mathrm{A}\cdot 0{,}75 \ \Omega-0{,}5\cdot 0{,}100 \ \mathrm{A}\cdot 0{,}1 \ \Omega-1{,}5 \ \mathrm{V}}{0{,}100 \ \mathrm{A}}=29{,}2 \ \Omega\approx 30 \ \Omega$]]