4. YKSINKERTAISET VIRTAPIIRIT JA SÄHKÖTEHO (411–423)

411. Piirin sähkövirran ratkaiseminen (ent 403 ja 404)

Virtapiirissä pariston napajännite on [[$U=1{,}5\text{ V}$]] ja vastusten resistanssit ovat [[$R_1=110\,\Omega,\ R_2=85\,\Omega$]].


  1. Kirjoita Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö.
  2. Ratkaise virtapiirissä kulkeva sähkövirta.
  3. Määritä vastusten napajännitteet.



Ratkaisu

a. Tilanteen kytkentäkaavio:


Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö [[$\Sigma \Delta V=0$]]

[[$ U-IR_1-IR_2=0 $]]​


b. Ratkaistaan Kirchhoffin II lain yhtälöstä sähkövirta [[$ I $]].

[[$ U-IR_1-IR_2=0 $]]​

.

[[$ \begin{align} U&=I(R_1+R_2)\\ \, \\ I&=\dfrac{U}{R_1+R_2} \\ \, \\ U&=1,5 \textrm{ V}\\ R_1&=110 \textrm{ }\Omega\\ R_2&=85 \textrm{ }\Omega \end{align} $]]​

​Ratkaisuksi saadaan

[[$ I= 0,0076923\dots \textrm{ A}\approx 7,7 \textrm{ mA} $]]​

c. Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Sigma \Delta V=0$]]

​[[$ \begin{align} U-IR_1-IR_2&=0\\ \, \\ I&=\dfrac{U}{R_1+R_2} \end{align} $]]​

(Voidaan ratkaista sähkövirralle arvo 0,0076923 A)

Ohmin lain mukaan

​[[$ \begin{align} U_{R_1}&=IR_1=\dfrac{U}{R_1+R_2}R_1\\ \, \\ U_{R_2}&=IR_2=\dfrac{U}{R_1+R_2}R_1\\ \, \\ U&=1,5 \textrm{ V}\\ R_1&=110 \textrm{ }\Omega\\ R_2&=85 \textrm{ }\Omega \end{align} $]]​

​​Saadaan jännitteiden suuruuksiksi

​[[$ U_{R_1}= 0,84615\dots \textrm{ V}\approx 0,85 \textrm{ V}\\ \, \\ U_{R_2}= 0,65384\dots \textrm{ V}\approx 0,65 \textrm{ V} $]]​

413. Potentiaalimuutokset virtapiirissä

Virtapiirissä jännitelähteiden napajännitteet ovat 9,0 V ja 6,0 V. Vastukset ovat samanlaisia ja kunkin resistanssi on [[$110\,\Omega$]].

  1. Kuinka suuri on potentiaalin muutos yhdessä vastuksessa?
  2. Piirrä piirin potentiaalin kuvaaja.





Ratkaisu

a. Jännitelähteet nostavat potentiaalia 15,0 V. Vastukset ovat samanlaisia ja ne laskevat potentiaalia yhtä paljon. Jokaisessa vastuksessa potentiaali alenee 5,0 V.

b. Piirretään kuvaaja.

415. Napajännite ja sisäinen resistanssi

Pariston lähdejännite on 1,52 V. Vastuksen [[$R_1$]] resistanssi on 22 Ω. Virtapiirissä kulkee 64 mA:n sähkövirta.


  1. Kuinka suuri on pariston napajännite?
  2. Kuinka suuri on pariston sisäinen resistanssi?


Ratkaisu

a. Pariston napajännite on yhtä suuri kuin vastuksen R1 napajännite. Ohmin lain mukaan

[[$ \begin{align} U&=IR_1\\ \, \\ I&=64 \textrm{ mA}=0,064 \textrm{ A}\\ \, \\ R_1&=22 \textrm{ }\Omega \end{align} $]]​

Ratkaisuksi saadaan

[[$ U=1,408 \textrm{ V}\approx 1,4 \textrm{ V} $]]​


b. Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Delta \Sigma V=0$]]

[[$ \begin{align} E-IR_\text{S}-IR&=0\\ \, \\ E-IR&=IR_\text{S}\\ \, \\ R_\text{S}&=\dfrac{E-IR}{I} \\ \, \\ E&=1,52 \textrm{ V}\\ I&=0,064 \textrm{ A}\\ R_1&=22 \textrm{ }\Omega\\ \end{align} $]]​

​Sisäiseksi resistanssiksi saadaan

[[$ R_\text{S}=1,75 \textrm{ }\Omega \approx 1,8 \ \Omega$]]​

416. Sisäinen resistanssi virtapiirissä

Pariston sisäinen resistanssi on 0,95 Ω ja lähdejännite 4,49 V. Pariston napoihin kytketään vastus, jonka resistanssi [[$R_1=33\,\Omega$]].

  1. Kuinka suuri sähkövirta virtapiirissä kulkee?
  2. Vastuksen [[$R_1$]] kanssa sarjaan lisätään vastus [[$R_2$]], jonka resistanssi on 22 Ω. Kuinka suuri sähkövirta virtapiirissä kulkee?


Ratkaisu

a. Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Sigma \Delta V=0$]]

[[$ \begin{align} E-IR_\text{S}-IR_1&=0\\ \, \\ E&=I(R_\text{S}+R_1)\\ \, \\ I&=\dfrac{E}{R_\text{S}+R_1}\\ \, \\ E&=4,49 \textrm{ V}\\ R_\text{S}&=0,95 \textrm{ }\Omega\\ R_1&=33 \textrm{ }\Omega \end{align} $]]​

​Ratkaisuksi saadaan

[[$ I= 0,13225 \textrm{ A}\approx 130 \textrm{ mA} $]]​


b.


Kirchhoffin II lain mukaan [[$\Sigma \Delta V=0$]]

[[$ \begin{align} E-IR_\text{S}-IR_1-IR_2&=0\\ \, \\ E&=I(R_\text{S}+R_1+R_2)\\ \, \\ I&=\dfrac{E}{R_\text{S}+R_1+R_2}\\ \, \\ E&=4,49 \textrm{ V}\\ R_\text{S}&=0,95 \textrm{ }\Omega\\ R_1&=33 \textrm{ }\Omega\\ R_2&=22 \textrm{ }\Omega \end{align} $]]​​

Ratkaisuksi saadaan

[[$ I= 0,080250\dots \textrm{ A}\approx 80 \textrm{ mA} $]]​​

419. Teholaskentaa

Kuinka suuri on sähkölaitteen tehon kulutus tai tuotto?

  1. Vastuksen napajännite on 12 V ja resistanssi 220 Ω.
  2. Jännitelähteen lähdejännite on 24 V, ja siitä lähtee sähkövirta 130 mA.
  3. Vastuksen resistanssi on 3,4 kΩ, ja sen läpi kulkee 0,430 A:n sähkövirta.



Ratkaisu

a. Sähköteho jännitteen ja resistanssin avulla

[[$ P=\dfrac{U^2}{R}\\ \, \\ P=\dfrac{(12 \textrm{ V})^2}{220 \textrm{ }\Omega}= 0,6545\dots \textrm{ W}\approx 0,65 \textrm{ W} $]]​


b. Sähköteho jännitteen ja sähkövirran avulla

[[$ P=EI\\ \, \\ P=24 \textrm{ V} \cdot 0,130 \textrm{ A}=3,12 \textrm{ W}\approx 3,1 \textrm{ W} $]]​


c. Sähköteho sähkövirran ja resistanssin avulla

[[$ P=RI^2\\ \, \\ P=3400 \textrm{ }\Omega \cdot (0,430 \textrm{ A})^2=628,66 \textrm{ W}\approx 630 \textrm{ W} $]]​

420. Tehot virtapiirissä

Pariston lähdejännite on 3,01 V ja sisäinen resistanssi 0,26 Ω. Paristosta lähtee 205 mA:n sähkövirta.

  1. Kuinka suurella teholla paristo tuottaa energiaa?
  2. Kuinka suurella teholla energiaa menetetään paristossa?
  3. Mikä on virtapiirin muiden komponenttien sähköteho?


Ratkaisu

a. Pariston sähköteho

[[$ P=EI\\ \, \\ P=3,01 \textrm{ V}\cdot 0,205 \textrm{ A}=0,61705 \textrm{ W}\approx 0,62 \textrm{ W} $]]​


b. Paristossa tapahtuva energiahäviö aiheutuu sisäisestä resistanssista. Sähköteho

[[$ P=R_sI^2\\ \, \\ P=0,26 \textrm{ }\Omega\cdot (0,205 \textrm{ A})^2=0,0109265 \textrm{ W}\approx 11 \textrm{ mW} $]]​


c. Muiden komponenttien sähköteho

[[$ \begin{align} P_{\text{virtapiiri}}&=P_{\text{paristo}}-P_{\text{sisäinen resistanssi}}\\ \, \\ 0,61705 \textrm{ W}-0,0109265 \textrm{ W}&=0,6061235 \textrm{ W} \approx 0,61\text{ W} \end{align} $]]​​

421. Teho määrää virran

Jännitemittari näyttää lukemaa 25,4 V. Vastuksessa tapahtuu energiahäviö teholla 5,0 W.

  1. Kuinka suuri on vastuksen resistanssi?
  2. Kuinka suuri sähkövirta virtapiirissä kulkee?




Ratkaisu

a. Vastuksessa tapahtuva jännitehäviö on yhtä suuri kuin pariston napajännite. Ratkaistaan resistanssi sähkötehon kautta

[[$ P=\dfrac{U^2}{R}\\ \, \\ R=\dfrac{U^2}{P}\\ \, \\ R=\dfrac{(\textrm{25,4 V})^2}{ \textrm{5,0 W}}= \textrm{129,032 }\Omega\approx 130 \ \textrm{}\Omega $]]​

b. Virtapiirissä kulkeva sähkövirta lasketaan sähkötehon kautta

[[$ P=UI\\ \, \\ I=\dfrac{P}{I}\\ \, \\ I=\dfrac{ \textrm{5,0 W}}{ \textrm{25,4 V}}= \textrm{0,19685}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,20 A} $]]​

(Sähkövirta voidaan ratkaista myös Ohmin lakia käyttäen.)

422. Joulukynttelikön lamput

Kynttelikössä on seitsemän hehkulamppua kytkettynä sarjaan. Lamppujen polttimoille ilmoitettu teho on 1,5 W. Kynttelikkö on tarkoitettu toimimaan 230 V jännitteessä. Kuinka suuri on yhden polttimon resistanssi?


Ratkaisu

Merkitään yhden polttimon resistanssia [[$R$]]. Kirchhoffin II laista saadaan yhtälö

[[$E-7RI=0$]]

Yhtälössä on kaksi tuntematonta, resistanssi ja virta. Toinen yhtälö saadaan, kun tiedetään yhden polttimon teho:

[[$P=RI^2$]]

Yhtälöpari voidaan ratkaista laskimella. Saadaan

[[$R= \text{719,7}\dots\Omega\approx 720 \ \Omega$]] ja
[[$I=\text{0,04565}\dots\text{ A}\approx 46\text{ mA}$]]