Todennäköisyys

Vaihtoehtojen lukumäärä (kpl 9)

Jotta voitaisiin laskea tapahtumien todennäköisyyksiä, täytyy osata laskea kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärä

Tuloperiaate

Järjestys ja osajoukot

  • Joskus vaihtoehtojen valintajärjestys vaikuttaa jäljelläoleviin vaihtoehtoihin
  • Esim.
    pussissa on keltainen, punainen ja sininen pallo. Jos ensimmäisenä nostetaan punainen pallo, niin jäljelle jää vain kaksi vaihtoehtoa. Seuraavan pallon jälkeen vaihtoehtoja on enää yksi. Erilaisten nostojärjestysten lukumäärä on siis [[$$ 3\cdot2\cdot1=6 $$]]​
    • Taulukkoon on listattu mahdolliset järjestykset (P=punainen, S=sininen, K=keltainen):
      PSK PKS
      SPK SKP
      KPS KSP

Taulukot ja päättely

Kaikkia ongelmia ei voi ratkaista suoraan puukaavion tai kertolaskun avulla. Usein on hyvä hahmotella ongelmaa piirtämällä tai taulukon avulla

Todennäköisyys (kpl 10)

Todennäköisyys

  • Tapahtuman todennäköisyys kuvaa sitä kuinka todennäköisesti jokin asia tulee tapahtumaan (Eh?)
    • Jos todennäköisyys on 0, tapahtuma ei voi tapahtua ja
    • jos todennäköisyys on 1, tapahtuma tapahtuu varmasti
    • Yleensä todennäköisyys on jotakin näiden väliltä

  • Todennäköisyyksiä voidaan ilmoittaa myös prosentteina tai murtolukuna esim. [[$$ 0,25 = 25\% = \frac{1}{4} $$]]​

  • Yksinkertaisimmillaan tapahtuman todennäköisyys saadaan laskettua jakamalla tapahtuman kannalta suotuisten tapausten lukumäärä kaikkien vaihtoehtojen lukumäärällä [[$$ \text{Todennäköisyys} = \frac{\text{suotuisat tapaukset}}{\text{kaikki vaihtoehdot}} $$]]​
  • Todennäköisyys (wikipedia)

Satunnaiskoe

Jos vaihtoehdot ovat täysin satunnaisia (tulosta ei voida ennustaa), esim. kolikon tai nopan heitto, ruletti(?), puhutaan satunnaiskokeesta.

Tilastollinen todennäköisyys

  • Suuria aineistomääriä tarkasteltaessa voidaan olettaa myös tulevien tapahtumien seurailevan tilastosta laskettua todennäköisyyttä (tilastollinen todennäköisyys)
  • Toistamalla satunnaiskoetta hyvin monta kertaa, tuloksen pitäisi lähestyä klassisen todennäköisyyslaskennan tulosta
Nopanheittoa tietokoneella, esimerkki tilastollisesta todennäköisyydestä:  Nopanheittoa

Klassinen todennäköisyys (kpl 11)

[[$$ \text{Todennäköisyys } P=\frac{\text{suotuisten alkeistapausten lukumäärä}}{\text{kaikkien mahdollisten tapausten lukumäärä}} $$]]​
  • Alkeistapauksia ovat kokeen kaikki mahdolliset tapahtumat
    • esim. nopanheiton alkeistapaukset ovat [1,2,3,4,5,6]

  • Suotuisat alkeistapaukset riippuvat tutkittavasta tapahtumasta
  • esim.
    • Millä todennäköisyydellä nopan tulos on 2?
      • suotuisa alkeistapaus ainoastaan tulos [2] [[$$ P(2) = \frac{1}{6}=0,1666\ldots\approx16,6\% $$]]​
    • Millä todennäköisyydellä nopan tulos on vähintään 4?
      • Suotuisat alkeistapaukset [4,5,6] [[$$ P(\text{vähintään }4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\% $$]]​

  • Klassisessa todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä (satunnaisia tapahtumia!)
  • Klassinen todennäköisyys (Wikipedia)

Peräkkäisten tapausten todennäköisyydet

Millä todennäköisyydellä kolmea noppaa heitettäessä
  1. saadaan vähintään yksi kutonen
    • Kutosen todennäköisyys on [[$ \frac{1}{6} $]]​
    • Todennäköisyys sille, että yksi kolmesta on kutonen (eli 1. TAI 2. TAI 3. on kutonen) on [[$ \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $]]​

  2. saadaan kolme kutosta
    • Todennäköisyys sille, että kaikki heitot ovat kutosia (eli 1. JA 2. JA 3 on kutonen) on [[$ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} = 0,00462\ldots \approx 0,5\% $]]​

  3. saadaan kolme samaa numeroa?
    • Tässä tapauksessa ensimmäinen voi olla mikä tahansa numero, eli [[$ \frac{6}{6} $]]​
    • seuraavat kaksi riippuvat ensimmäisestä heitosta, ja niille on molemmille vain yksi vaihtoehto [[$ \frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=0,0277\ldots\approx2,8\% $]]​

    • Mitkä tahansa kolme samaa numeroa ovat yhtä todennäköisiä kuin kolme kutosta eli tämän voi laskea myös yhteenlaskulla [[$ \frac{1}{216} + \frac{1}{216} + \frac{1}{216} + \frac{1}{216} + \frac{1}{216} + \frac{1}{216} = 6 \cdot \frac{1}{216} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36} = 0,0277\ldots\approx2,8\% $]]​ 

Liikennevalot

Koulumatkalla on kolmet liikennevalot (jalankulkijoille). Jokaisessa liikennevalossa on punainen ja vihreä valo. Mikä on todennäköisyys sille, että:
  1. Joutuu pysähtymään kaikissa valoissa
    • Kaikki vaihtoehdot (mahdolliset yhdistelmät) ovat PPP, PPV, PVP, PVV, VPP, VPV, VVP, VVV (8)
    • Ainoa suotuisa on PPP eli 1/8 = 0,125 = 12,5%

  2. Ei joudu pysähtymään kertaakaan
    • Jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen (1. vihreä on 1/2, 2. vihreä 1/2, 3. vihreä on 1/2)
    • Ainoa suotuisa on VVV
    • Valot eivät riipu toisistaan eli nyt pitää olla 1V JA 2V JA 3V  lasketaan kertolaskulla
      • [[$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 =12,5\% $]]​
      • (tämä pätee oikeastaan myös 1. kohtaan ja kaikkiin muihinkin yksittäisiin vaihtoehtoihin...)

  3. Joutuu pysähtymään tasan kerran
    • suotuisat vaihtoehdot PVV, VPV, VVP
    • jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 1/8, mutta nyt riittää jos joku toteutuu eli 1P TAI 2P TAI 3P → lasketaan yhteenlaskulla
      • [[$ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\% $]]​

  4. Joutuu pysähtymään ainakin kerran
    • joutuu pysähtymään 7 eri vaihtoehdolla eli
      • [[$ 7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]]​ (yhteenlasku lyhennetty kertolaskuksi)
    • toisaalta tämä on 2. kohdan vastatapahtuma eli ainoa joka ei käy on VVV (1/8) todennäköisyys on siis 7/8
      • [[$ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]]​
      • kaikkien vaihtoehtojen yhteenlaskettu todennäköisyys on 1 (100 %) eli todennäköisyyden voi laske myös vähentämällä epäsuotuisten vaihtoehtojen todennäköisyydet
Hankalamman ja ehkä mielenkiintoisemman ongelmasta saa jos vihreä ja punainen valo ei palakaan yhtä kauan: Internetix