Todennäköisyys

Vaihtoehtojen lukumäärä

Jotta voitaisiin laskea tapahtumien todennäköisyyksiä, täytyy osata laskea kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärä

Tuloperiaate

Järjestys ja osajoukot

  • Joskus vaihtoehtojen valintajärjestys vaikuttaa jäljelläoleviin vaihtoehtoihin
  • Esim.
    pussissa on keltainen, punainen ja sininen pallo. Jos ensimmäisenä nostetaan punainen pallo, niin jäljelle jää vain kaksi vaihtoehtoa. Seuraavan pallon jälkeen vaihtoehtoja on enää yksi. Erilaisten nostojärjestysten lukumäärä on siis [[$$ 3\cdot2\cdot1=6 $$]]​
    • Taulukkoon on listattu mahdolliset järjestykset (P=punainen, S=sininen, K=keltainen):
      PSK PKS
      SPK SKP
      KPS KSP

Taulukot ja päättely

Kaikkia ongelmia ei voi ratkaista suoraan puukaavion tai kertolaskun avulla. Usein on hyvä hahmotella ongelmaa piirtämällä tai taulukon avulla

Todennäköisyys

Todennäköisyys

  • Tapahtuman todennäköisyys kuvaa sitä kuinka todennäköisesti jokin asia tulee tapahtumaan (Eh?)
    • Jos todennäköisyys on 0, tapahtuma ei voi tapahtua ja
    • jos todennäköisyys on 1, tapahtuma tapahtuu varmasti
    • Yleensä todennäköisyys on jotakin näiden väliltä

  • Todennäköisyyksiä voidaan ilmoittaa myös prosentteina tai murtolukuna esim. [[$$ 0,25 = 25\% = \frac{1}{4} $$]]​

  • Yksinkertaisimmillaan tapahtuman todennäköisyys saadaan laskettua jakamalla tapahtuman kannalta suotuisten tapausten lukumäärä kaikkien vaihtoehtojen lukumäärällä [[$$ \text{Todennäköisyys} = \frac{\text{suotuisat tapaukset}}{\text{kaikki vaihtoehdot}} $$]]​
  • Todennäköisyys (wikipedia)

Satunnaiskoe

Jos vaihtoehdot ovat täysin satunnaisia (tulosta ei voida ennustaa), esim. kolikon tai nopan heitto, ruletti(?), puhutaan satunnaiskokeesta.

Tilastollinen todennäköisyys

  • Suuria aineistomääriä tarkasteltaessa voidaan olettaa myös tulevien tapahtumien seurailevan tilastosta laskettua todennäköisyyttä (tilastollinen todennäköisyys)
  • Toistamalla satunnaiskoetta hyvin monta kertaa, tuloksen pitäisi lähestyä klassisen todennäköisyyslaskennan tulosta
Nopanheittoa tietokoneella, esimerkki tilastollisesta todennäköisyydestä: Nopanheittoa​

Klassinen todennäköisyys

[[$$ \text{Todennäköisyys } P=\frac{\text{suotuisten alkeistapausten lukumäärä}}{\text{kaikkien mahdollisten tapausten lukumäärä}} $$]]​
  • Alkeistapauksia ovat kokeen kaikki mahdolliset tapahtumat
    • esim. nopanheiton alkeistapaukset ovat [1,2,3,4,5,6]

  • Suotuisat alkeistapaukset riippuvat tutkittavasta tapahtumasta
  • esim.
    • Millä todennäköisyydellä nopan tulos on 2?
      • suotuisa alkeistapaus ainoastaan tulos [2] [[$$ P(2) = \frac{1}{6}=0,1666\ldots\approx16,6\% $$]]​
    • Millä todennäköisyydellä nopan tulos on vähintään 4?
      • Suotuisat alkeistapaukset [4,5,6] [[$$ P(\text{vähintään }4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\% $$]]​

      • (eli suotuisia tapauksia 4 TAI 5 TAI 6) [[$$ P(4,5,6)=\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}=50\% $$]]​
  • Klassisessa todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä (satunnaisia tapahtumia!)
  • Klassinen todennäköisyys (Wikipedia)

Peräkkäisten tapausten todennäköisyydet

Millä todennäköisyydellä kolmea noppaa heitettäessä
  1. saadaan kolme kutosta
    • Todennäköisyys sille, että kaikki heitot ovat kutosia (eli 1. JA 2. JA 3 on kutonen) on [[$ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} = 0,00462\ldots \approx 0,5\% $]]​

  2. saadaan kolme samaa numeroa?
    • Tässä tapauksessa ensimmäinen voi olla mikä tahansa numero, eli [[$ \frac{6}{6} $]]​
    • seuraavat kaksi riippuvat ensimmäisestä heitosta, ja niille on molemmille vain yksi vaihtoehto [[$ \frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=0,0277\ldots\approx2,8\% $]]​​

  3. saadaan vähintään yksi kutonen
    • Ajatellaan toista kautta. Mahdollisuus sille, että ei saada kutosta on joka heitolla 5/6 eli [[$ \frac{5}{6} \cdot\ \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216} $]]​
    • jos kaikenkaikkiaan mahdollisuuksia on 216 ([[$ 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 $]]​) ja mahdollisuuksia joissa ei ole kutosta on 125, niin mahdollisuuksia joissa on kutonen on [[$ 216 - 125 = 91 $]]​. Todennäköisyys on siis [[$ \frac{91}{216} $]]​

    • Todennäköisyys voidaan laskea myös suoraan vastatapahtuman kautta (100% - mahdollisuus sille, että ei tule kutosta)[[$$ 1 - \frac{125}{216} = \frac{216}{216} - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 0,42129 \ldots \approx 42 \% $$]]​ 

Liikennevalot

Koulumatkalla on kolmet liikennevalot (jalankulkijoille). Jokaisessa liikennevalossa on punainen ja vihreä valo. Mikä on todennäköisyys sille, että:
  1. Joutuu pysähtymään kaikissa valoissa
    • Kaikki vaihtoehdot (mahdolliset yhdistelmät) ovat PPP, PPV, PVP, PVV, VPP, VPV, VVP, VVV (8)
    • Ainoa suotuisa on PPP eli 1/8 = 0,125 = 12,5%

  2. Ei joudu pysähtymään kertaakaan
    • Jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen (1. vihreä on 1/2, 2. vihreä 1/2, 3. vihreä on 1/2)
    • Ainoa suotuisa on VVV
    • Valot eivät riipu toisistaan eli nyt pitää olla 1V JA 2V JA 3V → lasketaan kertolaskulla
      • [[$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 =12,5\% $]]​
      • (tämä pätee oikeastaan myös 1. kohtaan ja kaikkiin muihinkin yksittäisiin vaihtoehtoihin...)

  3. Joutuu pysähtymään tasan kerran
    • suotuisat vaihtoehdot PVV, VPV, VVP
    • jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 1/8, mutta nyt riittää jos joku toteutuu eli 1P TAI 2P TAI 3P → lasketaan yhteenlaskulla
      • [[$ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\% $]]​

  4. Joutuu pysähtymään ainakin kerran
    • joutuu pysähtymään 7 eri vaihtoehdolla eli
      • [[$ 7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]]​ (yhteenlasku lyhennetty kertolaskuksi)
    • toisaalta tämä on 2. kohdan vastatapahtuma eli ainoa joka ei käy on VVV (1/8) → todennäköisyys on siis 7/8
      • [[$ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]]​
      • kaikkien vaihtoehtojen yhteenlaskettu todennäköisyys on 1 (100 %) eli todennäköisyyden voi laske myös vähentämällä epäsuotuisten vaihtoehtojen todennäköisyydet
Hankalamman ja ehkä mielenkiintoisemman ongelmasta saa jos vihreä ja punainen valo ei palakaan yhtä kauan: Internetix

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä