5. opetuskerta

Tuloperiaate ja jonojen lukumäärä

Hyvin usein todennäköisyyksien laskeminen on sitä, että mietitään, miten monta erilaista vaihtoehtoa on olemassa, ja mitkä niistä ovat kelvollisia.

Tätä matematiikan osa-aluetta kutsutaan kombinatoriikaksi ja sitä voi opiskella myös riippumatta todennäköisyyksistä.

Hyvin monet pelit perustuvat kombinatoriikkaan, esim. lotto, ja shakki. Näistä ensimmäinen on satunnaisesta todennäköisyydestä ja vaihtoehtojen lukumäärästä riippuva peli, jälkimmäinen pelkästään vaihtoehtojen laskemisesta riippuva taitopeli. Jotkut pelit riippuvat vaihtoehtojen laskemisesta ja sattumasta, (eli taidosta ja tuurista), näistä vanhin ja tunnetuin on vanha mahdollisesti Lähi-idässä keksitty backgammon.

Peleistä ehkä yksinkertaisin ja silti kiinnostava on kruuna ja klaava (rulettipöydässä punainen tai musta). Se on peli, jossa teoriassa voittaa aina, mutta käytännössä yleensä häviää (koska ruletissa on myös vihreä nolla). Esimerkki…

Tuloperiaate



Esimerkki: Montako erilaista asua saa muodostettua, jos valittavana on kolme paitaa, kahdet housut ja kahdet kengät.

Paidan voi valita kolmella tavalla,

housut voi valita kahdella tavalla ja

kengät voi valita kahdella tavalla.

Toisin sanoen erilaisia asuja voi valita

3 x 2 x 2 kpl eli 12 erilaista asua.

Erilaisten vaihtoehtojen määrä on merkittävästi erilainen, jos samoja valintoja voi käyttää useamman kerran. Erityisesti kirjain ja numeroyhdistelmissä.

Tuloperiaate on myös käytössä, jos samaa arvontatapaa käytetään toistuvasti, esimerkiksi nopanheitto tai kolikonheitto.

Esimerkki nopanheitto kolmesti.

Jonojen lukumäärä

Kertoma on luku, joka saadaan, kun kerrotaan keskenään valittu kokonaisluku ja kaikki sitä pienemmät kokonaisluvut ykköseen saakka.

Luvun n kertomaa merkitään symbolilla n!

Kuinka monella tavalla voidaan järjestää jonoon n kappaletta alkioita.

  • tätä järjestämistä kutsutaan matematiikassa permutoinniksi ja eri järjestyksiä kutsutaan permutaatioiksi
  • oleellista on se, että sama alkio ei voi tässä olla kahdessa paikassa yhtä aikaa


Esimerkki: Moneenko erilaiseen jonoon Matti, Teppo ja Seppo voivat mennä

Matti – Teppo  - Seppo

Matti – Seppo – Teppo

Teppo – Matti – Seppo

Teppo – Seppo -Matti

Seppo – Matti – Teppo

Seppo – Teppo – Matti

Jonoja oli siis 6 erilaista, tämä saadaan myös laskemalla 3! eli luvun 3 kertoma

3 x 2 x 1 = 6

Selitys on se, että ensimmäinen jonossa voidaan valita 3 tavalla, tällöin toisen jonossa olijan voi valita kahdella tavalla ja joku yksi jää aina viimeiseksi.

Osajonojen lukumäärä

Osajonojen laskeminen tarkoittaa siis sitä, että valitaan  kaikista alkioista tietty määrä ja lasketaan, kuinka monta tällaista osajoukkoa on olemassa.


Kotitehtäviksi: 52, 55, 57, 58, 66, 70, 74, 77, 80, 96, 97

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä