1.2 Itseisarvoepäyhtälö

142

$\left|3x-1\right|\ge\left|x+2\right|\ \ \ \ \ \mid^2$
$9x^2-6x+1\ge x^2+4x+4$
$8x^2-10x-3\ge0$
$x=\frac{-\left(-10\right)\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot8\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot8}$
$x=\frac{10\pm\sqrt{100+96}}{16}$
$x=\frac{10\pm14}{16}$
$\text{x}=1\ \frac{1}{2}\ tai\ x=-\frac{1}{4}$
$kuvaaja\ on\ ylöspäin\ aukeava\ paraabeli\ toisen\ asteen\ ter\min\ ollessa\ positiivinen$
$x\ge1\ \frac{1}{2}\ tai\ x\le-\frac{1}{4}$

$\left|1+x\right|>\left|3-4x\right|\ \ \ \ \ \mid^2$
$x^2+2x+1>16x^2-24x+9$
$-15x^2+26x-8>0$
$x=\frac{-26\pm\sqrt{26^2-4\cdot\left(-15\right)\cdot\left(-8\right)}}{2\cdot\left(-15\right)}$
$x=\frac{-26\pm14}{-30}$

$x=-\frac{2}{5}\ tai\ x=-1\frac{1}{3}$

toisen asteen termin kerroin on negatiivinen, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli

$-1\frac{1}{3}<x<-\frac{2}{5}$

141

$\left|x+1\right|<\left|x-2\right|\ \ \ \mid^2$
$\left(\right|x+1\left|\right)^2-\left(\right|x-2\left|\right)^2<0$
$x^2+2x+1<x^2-4x+4$
$6x<3$
$x<\frac{1}{2}$

$\left|2-2x\right|\ge\left|5+2x\right|\ \ \ \mid^2$
$4x^2-8x+4\ge4x^2+20x+25$
$-28x-21\ge0$
$-28x\ge21$
$x\le-\frac{3}{4}$

140

a) epätosi, 1/3 on suurempi kuin 1/4
b) tosi, 0,99-1=-0,01 on pienempi kuin 0,01
c) epätosi, |-0,02|=0,02 on suurempi kuin 0,01 ja siten toteuttaa epäyhtälön

139

$\left|x-5\right|\le3$
$x-5\le3$
$x\le8$
$x-5\ge-3$
$x\ge2$
$2\le x\le8$

$\left|x+2\right|>7$
$x+2>7$
$x>5$
$x+2<-7$
$x<-9$
$tai$
$x>5$

138

$\left|x-2\right|\ge5$
$x-2\ge5$
$x\ge7$
$x-2\le-5$
$x\le-3$
$tai$
$x\ge7$

137

$\left|-x+1\right|>2$
$-x+1>2$
$-x>1$
$x<-1$
$-x+1<-2$
$-x<-3$

$x>3$

tai

$x<-1$

$\left|7-x\right|<-1$
epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja, itseisarvo ei voi olla negatiivinen

$\left|6x-3\right|\ge7$
$6x-3\ge7$
$6x\ge10$
$x\ge1\ \frac{2}{3}$
$6x-3\le-7$
$6x\le-4$

$x\le-\frac{2}{3}$

tai

$x\ge1\ \frac{2}{3}$

$\left|4x+2\right|\ge0$

epäyhtälö on tosi kaikilla x arvoilla, jotka ovat reaalilukuja

136

$\left|6x+1\right|<3$
$-3<6x+1<3$
$-4<6x<2$

$-\frac{2}{3}<x<\frac{1}{3}$

$\left|5-12x\right|>9$
$5-12x>9$
$-12x>4$
$x<-\frac{1}{3}$
$5-12x<-9$
$-12x<-14$
$x>1\ \frac{1}{6}$
tai
$x<-\frac{1}{3}$

$\left|4x\right|\le2$
$4x\le2$
$x\le\frac{1}{2}$
$4x\ge-2$
$x\ge-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}$

$\left|-3x+7\right|\ge2$

$-3x+7\ge2$
$-3x\ge-5$
$x\le1\ \frac{2}{3}$
$-3x+7\le-2$
$-3x\le-9$
$x\ge3$

tai

$x\le1\ \frac{2}{3}$

135

a) itseisarvo ei voi olla negatiivinen
b) itseisarvo on aina nolla tai positiivinen
c) itseisarvon, minkä tahansa luvun neliön ja positiivinen kokonaisluvun summa on positiivinen
d) koska vain |0| voi olla nolla tai pienempi

131

A3
B2
C4
D1

132

$x\le2$

$5x+10\ge-20$
$5x\ge-30$
$x\ge-6$
$-6\le x\le20$

$\left|3-2x\right|<5$
$3-2x<5$
$-2x<2$
$x>-1$
$3-2x>-5$
$-2x>-8$
$x<4$
$-1<x<4$