Raja-arvo

Funktion raja-arvo

Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)$

Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.

Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.

Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.

Laske raja-arvo.

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}$
$nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}$

⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2

$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)$
$=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6$
$eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$

x:n arvon 1 sijoittaminen johtaan muotoon 0/0

⇒ x=1 on sekä osottajan että nimittäjän nollakohta ⇒ molemmissa on tekijänä x - 1

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ osottajan toinen tekijä on päätelty polynomin kertolaskun avulla

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{3}{2}$

$Funktion\ f\ arvot\ lähestyvät\ arvoa\ \frac{3}{2}{,}\ kun\ x\ \rightarrow\ 1$

Funktion jatkuvuus

Jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen eli kuvaaja ei katkea missään kohdissa. Nyt kaikki polynomi-, murto-, eksponentti- ja logaritmi- sekä trigonometriset funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.

Määritelmä jatkuvuudelle

Funktio on jatkuva kohdassa x = a, jos funktiolla on raja-arvo kohdassa x = a ja tämä raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x = a.

$lyhyem\min:\ jatkuvuusehto\ kohdassa\ x\ =\ a$

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Funktion jatkuvuutta tarkastellaan sellaisilla funktioilla, jotka on määritelty kahdessa tai useammassa osassa (paloittain) esim

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x-1{,}\ kun\ x\lt -1&\\ x^2-3{,}\ kun\ x\ge-1& \end{cases}$
$Nyt\ jatkuvuutta\ pitäisi\ tutkia\ vain\ kohdassa\ x\ =\ -1$

Näitä jatkuvuustarkasteluja käsitellään tarkemmin syventävällä kurssilla MAA12

Bolzanon lause

Liittyy jatkuvan funktion yhteen perusominaisuuksista.

Bolzanon lause:

Jos funktio f on jatkuva jollakin välillä [a, b] (a ≤ x ≤ b) ja funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä niin tällöin funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a, b[ (a < x < b).

Todetaan, että funktio f on jatkuva ja lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä eli f(a) ja f(b). Jos ne ovat erimerkkiset eli esim f(a) < 0 ja f(b) > 0 niin funktiolla on varmasti ainakin yksi nollakohta
$eli\ funktion\ kuvaaja\ leikkaa\ x-akselin\ ainakin\ \ker ran$

Esim

Osoita, että funktiolla

$f\left(x\right)=x^3+3x-2\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta.$
$Nyt\ f\ on\ määritelty\ kaikilla\ x:n\ arvoilla\ ja\ f\ on\ jatkuva.$
$Nyt\ etsitään\ kaksi\ x:n\ arvoa{,}\ joilla\ \ toisella\ funktion\ arvo\ on\ negat\ ja\ toisella\ posit$
$Huomataan{,}\ että\ f\left(0\right)=-2\lt 0\ ja\ f\left(1\right)=2\gt 0\ eli\ f\ saa\ välillä\ \left[0{,}\ 1\right]\ erimerkkiset\ arvot$
$\Rightarrow\ f:llä\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta\ välillä\ 0\ \lt x\lt 1$