2.3 Sovelluksia

266

$y=2x+3$

$P=\left(x{,}y\right)=\left(x{,}2x+3\right)$

lyhin etäisyys origoon saadaan janalla OP ja laskemalla sen pituus

$\sqrt{\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)^2}=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(2x+3-0\right)^2}=\sqrt{5x^2+12x+9}$

$5x^2+12x+9$

ym. funktion kuvaaja on paraabeli

pisteen koordinaatit saadaan derivoimalla funktio ja laskemalla sen nollakohta

$D\left(5x^2+12x+9\right)=10x+12$
$10x+12=0$
$10x=-12$
$x=-\frac{6}{5}$

$y=2x+3$
$y=2\left(-\frac{6}{5}\right)+3=\frac{3}{5}$

pisteen P koordinaatit ovat siis $\left(-\frac{6}{5}{,}\frac{3}{5}\right)$

264

a)
$AC=\sqrt{x^2+5^2}=\sqrt{x^2+25}$
$CB^2=5^2+\left(8-x\right)^2$
$CB^2=x^2-16x+89$
$CB=\sqrt{x^2-16x+89}$
$f\left(x\right)=AC+CB=\sqrt{x^2+25}+\sqrt{x^2-16x+89}$
b)
piste C sijaitsee välillä $0\le x\le8$
janojen yhteispituus on pienin silloin kun sitä kuvaava funktio saa minimiarvonsa
pisteen C sijainti saadaan x:n arvosta funktion minimikohdassa
funktio voi saada välillä ääriarvoja välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa
arvot välin päätepisteissä:

derivoidaan funktio ja lasketaan derivaattafunktion nollakohdat laskimella

pienin janojen yhteispituus saadaan kohdassa x=4
pisteen C sijainti on siis suorakulmion sivun puolivälissä

262

$p=10$
$2{,}5<x<5$

$AB=10-2x$
$AD=\frac{AB}{2}$
$AD=\frac{10-2x}{2}$
$AD=5-x$
$CD^2+AD^2=x^2$
$CD^2=x^2-\left(5-x\right)^2$
$CD^2=10x-25$
$CD=\sqrt{10x-25}$

$f\left(x\right)=\frac{\left(10-2x\right)\left(\sqrt{10x-25}\right)}{2}=\left(5-x\right)\sqrt{10x-25}$

pinta-alan suurin arvo on 4,81 ja se saavutetaan kun x=3,33..., jolloin kolmio on tasasivuinen

268

$8x+4y=500$

$y=125-2x$

suljettu väli $\left[0{,}\ \frac{125}{2}\right]$

$f'\left(x\right)=\frac{2\left(3x-125\right)}{\sqrt{6x^2-500x+15625}}$

derivaattafunktion nollakohdat

$x=\frac{125}{3}$

arvot välin päätepisteissä ja nollakohdassa

$f\left(0\right)=125$
$f\left(\frac{125}{2}\right)\approx88{,}3883$
$f\left(\frac{125}{3}\right)\approx72{,}1688$ pienin

V: lyhin mahdollinen avaruuslävistäjä on 72,2cm pitkä

309

a)
$f\left(x\right)=8+16\cdot0{,}5^{0{,}02x}$
$f\left(0\right)=8+16\cdot1=24$
b)
$f\left(2{,}5\left(60\right)\right)=8+16\cdot0{,}5^{0{,}02\cdot150}=10$
c)

tölkin lämpötila on 15°C 60 minuutin päästä jääkaappiin laittamisesta

jääkaapin lämpötila on 8°C