4.3 Logaritmifunktio ja -yhtälö

456

a)

$\ln\left(5x-1\right)=\ln\left(2x\right)$

määrittelyehto

$5x-1>0$
$5x>1$
$x>\frac{1}{5}$

$2x>0$
$x>0$

määrittelyehto on siis $x>\frac{1}{5}$

$\ln\left(5x-1\right)=\ln\left(2x\right){,}\ jos\ 5x-1=2x$
$5x-2x=1$
$3x=1$
$x=\frac{1}{3}$

ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon

b)

$2\log_2x=\log_2\left(3x+4\right)$

$\log_2x^2=\log_2\left(3x+4\right)$

määrittelyehto

$x^2>0$

kaikki luvut toteuttavat

$3x+4>0$
$3x>-4$
$x>-\frac{3}{4}$

määrittelyehto on siis $x>-\frac{3}{4}$

$\log_xx^2=\log_2\left(3x+4\right){,}\ jos\ x^2=3x+4$
$x^2-3x-4=0$
ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla
$x=\frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2+4\cdot1\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot1}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3+5}{2}=4\ tai\ \frac{3-5}{2}=-1$
$x=4\ tai\ x=-1$

molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon

455

a)

$f\left(x\right)=\lg\left(x-1\right)$

määrittelyjoukko

$x-1>0$
$x>1$

nollakohdat

$\lg\left(x-1\right)=0$
$x-1=1$
$x=2$

b)

$f\left(x\right)=\ln\left(x^2-3\right)$

määrittelyjoukko

$x^2-3>0$
$x^2>3$
$x>\sqrt{3}tai\ x<-\sqrt{3}$

nollakohdat

$\ln\left(x^2-3\right)=0$
$x^2-3=1$
$x^2=4$
$x=2\ tai\ x=-2$

c)

$f\left(x\right)=\ln\left(x^2+3\right)$

määrittelyjoukko

$x^2+3>0$

funktio on määritelty kaikilla x:n arvoilla

nollakohdat

$\ln\left(x^2+3\right)=0$
$x^2+3=1$

$x^2=-2$

yhtälöllä ei ole nollakohtia

454

a)

$f\left(x\right)=\ln x$

funktion f määrittelyjoukko on $x>0$

b)

$f\left(x\right)=0\$ ratkaisu on $x=1$ , koska $\ln1=0$

452

a) kasvava, positiivinen
b) vähenevä, negatiivinen
c) kasvava, positiivinen

451

A2
B3
C1
D4