2.2 Juurifunktion derivaatta ja kulun tutkiminen

241

a)
$f\left(x\right)=1+\sqrt{x}=1+x^{\frac{1}{2}}$
$f'\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$f'\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\$

tangentti

$\frac{1}{4}x+2$

b)
normaali

$\frac{1}{4}\cdot z=-1$
$z=-4$
$-4x+19$

240

muutosnopeus nähdään derivaattafunktion arvosta
derivoidaan funktio
$f\left(x\right)=3x+\frac{3}{\sqrt[3]{x}}{,}\ x>0$
$f\left(x\right)=3x+3x^{-\frac{1}{3}}$

$f'\left(x\right)=3-x^{-\frac{4}{3}}$

$f'\left(\frac{1}{8}\right)=3-\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{1}{8}\right)^4}}=3-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{4096}}}=3-16=-13$

238

a)
$-\frac{2}{\sqrt{x}}{,}\ x>0$

$D\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)=-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=x^{-\frac{3}{2}}$

$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$
$D\left(x^{\frac{2}{3}}\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

$\frac{x^2}{3\sqrt{x}}=\frac{1}{3}x^2\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
$D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$
$f\left(x\right)=x^2$
$f'\left(x\right)=2x$
$g\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}$
$g'\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$
$D\left(\frac{1}{3}x^2x^{-\frac{1}{2}}\right)=2x\cdot x^{-\frac{1}{2}}+x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)=2x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-3}=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2x^3}$