4.1 Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö

403

a)
keskipisteen\ ja\ ympyrällä\ olevan\ pisteen\ etäisyys
\sqrt{\left(-1-\left(-3\right)\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
b)
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2
\left(x-\left(-1\right)\right)^2+\left(y-2\right)^2=5
c)
sijoitetaan pisteet ympyrän yhtälöön
\left(x-\left(-1\right)\right)^2+\left(y-2\right)^2=5
\left(1-\left(-1\right)\right)^2+\left(3-2\right)^2=5
4+1=5\ tosi
\left(-3-\left(-1\right)\right)^2+\left(2-2\right)^2=5
4+0=5\ epätosi
jos piste toteuttaa yhtälön, se on ympyrällä, piste B on siis ympyrä

söös

Tehtävä 4
Ympyrän keskipiste on (3, -1) ja säde 2.
a) Määritä ympyrän yhtälö.
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2
r=2
\left(x_0{,}y_0\right)=\left(3{,}-1\right)
\left(x-3\right)^2+\left(y-\left(-1\right)\right)^2=2^2

b) Onko piste (1, -1) ympyrällä?
sijoitetaan pisteen koordinaatit keskipistemuotoiseen yhtälöön

\left(1-3\right)^2+\left(\left(-1\right)-\left(-1\right)\right)^2=2^2
4+0=4
tosi

piste on ympyrällä

c) Selvitä miten piste (2, 1) sijaitsee ympyrään nähden. (Onko piste ympyrän kehällä, sisällä vai ulkopuolella.)

lasketaan pisteen (2, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä
\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(1-\left(-1\right)\right)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}
\sqrt{5}>\sqrt{4}
\sqrt{5}>2
etäisyys on suurempi kuin ympyrän säde, joten piste on kehän ulkopuolella

409


a)
ympyröiden välinen etäisyys on yhden desimaalin tarkkuudella 5,9
b)
ympyröiden välinen etäisyys on keskipisteiden välinen etäisuus josta on vähennetty ympyröiden säteet
ympyröiden\ säteet\ ovat\ \sqrt{8}ja\ \sqrt{18}
keskipisteiden\ välinen\ etäisyys\ on\ \sqrt{\left(3-\left(-9\right)\right)^2+\left(-5-0\right)^2}
\sqrt{169}=13
13-\sqrt{8}-\sqrt{18}=13-5\sqrt{2}\approx5{,}9289...\approx5{,}9