Aiemmin luvussa 1.3. käytiin läpi muistikaavoja, joilla voi laskea polynomien summan ja erotuksen neliön eli toisen potenssin. Pascalin kolmion avulla voidaan kuitenkin laskea myös polynomien summan ja erotuksen korkeammat kuin toiset potenssit eli [[$(a+b)^{n}$]] ja [[$(a-b)^{n}$]], missä [[$n\in\mathbb{R}$]]. Tästä syystä näitä lukuja kutsutaan binomikertoimiksi.

Pascalin kolmion muodostaminen

Pascalin kolmio muodostetaan kirjoittamalla aina jokaisen rivin alkuun ja loppuun numerot 1 ja laskemalla sitten alapuolelle luku, joka on kahden ylemmällä rivillä olevan luvun summa. Pascalin kolmio muodostetaan seuraavalla tavalla:





Pascalin kolmio kolmirivisenä:
[[$\begin{matrix}&&1&&\\&1& &1&\\1& &2& &1\\\end{matrix}$]]
Keskellä oleva 2 saadaan laskemalla yhteen edellisellä rivillä kakkosen yläpuolella olevat [[$1+1$]].

Nelirivisenä saadaan:
[[$\begin{matrix}&&&1&&&\\&&1& &1&&\\&1& &2& &1&\\1& &3 & & 3& &1\\\end{matrix}$]]

Tässä on saatu ensimmäinen kolmonen laskemalla yhteen ylemmällä rivillä vasemmalla oleva 1 ja sitten 2 ja toinen kolmonen laskemalla yhteen samainen luku 2 ja sitten oikealla oleva 1.

Viisirivisenä saadaan:

[[$\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1& &1&&&\\&&1& &2& &1&&\\&1& &3 & & 3& &1&\\1& &4 & &6 & &4 & &1\end{matrix}$]]

Tässä on saatu ensimmäinen nelonen laskemalla yhteen vasemmalta 1 ja 3 ja sitten keskelle kutonen laskemalla yhteen 3 ja 3 ja sitten viimeinen nelonen laskemalla yhteen 3+1 oikealta.

Tällä tavalla voidaan jatkaa äärettömyyksiin asti.

Pascalin kolmion käyttäminen muotoa [[$(a+b)^{n}$]] olevien polynomien laskemiseen

Pascalin kolmiota voidaan käyttää muotoa [[$(a+b)^{n}$]] olevien polynomien laskemiseen auki, sillä Pascalin kolmio sisältää auki kirjoitetun polynomin kertoimet. Kertoimet ovat [[$n$]]:ää vastaavalla Pascalin kolmion rivillä siten, että laskeminen aloitetaan nollasta eli rivi, jolla on vain luku 1, on nollas rivi ja rivi, jolla on luvut 1 ja 1, on ensimmäinen rivi ja niin edelleen.

Kun on valittu oikea Pascalin kolmion rivi edellä kuvatusti, voidaan aloittaa polynomin aukikirjoittaminen. Tämä tehdään seuraavasti:
1. Määritellään luvut [[$i, j$]] ja [[$k$]] seuraavasti: [[$i=n$]], [[$j=0$]] ja [[$k$]] on ensimmäinen käyttämätön luku vasemmalta lukien valitulla Pascalin kolmion rivillä.
2. Kirjoitetaan polynomi [[$k\cdot a^{i}\cdot b^{j}$]]
3. Kirjoitetaan plusmerkki.
4. Kasvatetaan [[$j$]]:tä yhdellä (eli [[$j=j+1$]]) ja vähennetään [[$i$]]:tä yhdellä (eli [[$i=i-1$]]) ja siirrytään [[$k$]]:lla seuraavaan ko. rivin lukuun.
5. Aloitetaan uudestaan kohdasta 2 ja toistetaan, kunnes [[$j=n$]] ja [[$i=0$]].

Esimerkki 5

Katsotaan edellä kuvatun algoritmin toimintaa, kun [[$n=3$]] ja aukikirjoitetaan polynomi [[$(a+b)^{3}$]].

Nyt siis valittava Pascalin kolmion rivi on kolmion neljäs rivi, koska rivien laskeminen aloitettiin nollasta, eli rivi [[$1,3,3,1$]]. Nyt ryhdytään soveltamaan edellä kuvattua ohjetta:
1.1. [[$i=n=3$]], [[$j=0$]] ja [[$k=1$]], koska yhtään lukua luvuista [[$1,3,3,1$]] ei ole vielä käytetty.
1.2. Nyt saadaan [[$k\cdot a^{i}\cdot b^{j}=\underbrace{1}_{=k}\cdot \underbrace{a^{3}}_{a^{i}}\cdot \underbrace{b^{0}}_{b^{j}}=a^{3}$]]
1.3. Saadaan [[$a^{3}+$]]
2.1. Nyt [[$j=j+1=0+1=1$]], [[$i=i-1=3-1=2$]] ja [[$k=3$]], koska [[$1$]] on käytetty rivistä [[$1,3,3,1$]] ja seuraava käyttämätön luku on [[$3$]].
2.2. Siirrytään uudestaan aukikirjoittamisen kohtaan 2, jolloin saadaan
[[$a^{3}+\underbrace{3}_{=k}\cdot \underbrace{a^{2}}_{a^{i}}\cdot \underbrace{b^{1}}_{b^{j}}=a^{3}+3a^{2}b$]]
2.3. Nyt saadaan [[$a^{3}+3a^{2}b+$]]
3.1. Nyt [[$j=j+1=1+1=2, i=2-1=1$]] ja [[$k=3$]], koska rivistä [[$1,3,3,1$]] seuraava käyttämätön luku on [[$3$]]
3.2. Siirrytään taas kohtaan 2, jolloin saadaan
[[$a^{3}+3a^{2}b+3\cdot a^{1}\cdot b^{2}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$]]
3.3. [[$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+$]]
4.1. [[$j=2+1=3,i=1-1=0$]] ja [[$k=1$]].
4.2. Takaisin alkuun kohtaan 2 (tämä on viimeinen kierros, koska [[$j=3=n$]] ja [[$i=0$]]).
4.3. [[$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1\cdot a^{0}\cdot b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$]]

Vastaukseksi saatiin [[$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$]].

Vastaavalla tavalla voidaan avata mikä tahansa potenssi.

Muotoa [[$(a-b)^n$]] olevat polynomit

Muotoa [[$(a-b)^n$]] olevat polynomit toimivat samalla tavoin, mutta joka toinen [[$+$]]-merkki pitää muuttaa [[$-$]]-merkiksi. Edellä kuvatussa ohjeessa siis kohdassa 3 laitetaan vuoron perään [[$+$]]- ja [[$-$]]-merkit siten, että ensimmäinen merkki on miinus eli yllä olevat kaavat saadaan muotoon: