4. Derivoimissääntöjä

Potenssifunktion derivaatta

$Polynomeissa\ käytettävää\ derivoimissääntöä\ Dx^n=n\cdot x^{n-1}$

voidaan käyttää myös tapauksissa, joissa eksponentti n on negatiivinen tai murtoluku

HUOM!
$\frac{1}{x^p}=x^{-p}$

esimerkiksi

$D\ \frac{1}{x^2}=D\ x^{-2}=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$

$ennen\ derivointia\ muoto\ \frac{1}{x^2}\ muutetaan\ muotoon\ x^{-2}{,}\ joka\ derivoidaan\ potenssifunktion$
$derivoimissäännöllä$

Samoin juurimuodot muutetaan ennen derivointia murtopotenssimuotoon

esim

$\ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

$nyt\ D\ \sqrt[3]{x^2}=D\ x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\ \ \left(tämä\ muoto\ muutetaan\ takai\sin\ juurimuotoon\right)$
$=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Osamäärän ja tulon derivoimissääntö

Tulon ja osamäärän derivoimissääntö

Tulon tekijöitä ei voida derivoida erikseen vaan jos funktio on kahden eri lausekkeen tulo niin siinä joudutaan käyttämään tulon derivoimissääntöä.

$summan\ tapauksessa\ molemmat\ yhteenlaskettavat\ derivoidaan\ erikseen\ eli$
$D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$
'
$tulon\ tapauksessa\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)\ne\ne\ne\ne f'\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$

$Tulon\ derivoimissääntö:\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$

Nyt tässä kohdin tulon derivoimissääntöä ei juurikaan tarvita, koska kun f ja g ovat polynomeja niin yleensä tulo voidaan siventää ennen derivointia

esimerkiksi

$D\left(x^3\cdot x^4\right)=Dx^7=7x^6\ \left(ei\ kannata\ käyttää\ tulon\ derivoimissääntöä\right)$
$\left(D\left(x^3\cdot x^4\right)=3x^2\cdot x^4+x^3\cdot4x^3=3x^6+4x^6=7x^6\right)$

Murtolauseke on kahden polynomin osamäärä, joka joudutaan derivoimaan osamäärän derivoimissäännön avulla. Eli ei voida ajatella siten, että derivoidaan osoittaja ja nimittäjä erikseen

$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ne\ne\ne\ne\ne\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}$

$Osamäärän\ derivoimissääntö:\ D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$
$Lyhyem\min:\ D\ \frac{f}{g}=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$

$esim$
$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x-4}$
$f'\left(x\right)=\frac{2\cdot\left(3x-4\right)-\left(2x+1\right)\cdot3}{\left(3x-4\right)^2}=\frac{6x-8-6x-3}{\left(3x-4\right)^2}=-\frac{11}{\left(3x-4\right)^2}$

HUOM!! $D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)$

Murtofunktion kulku ja ääriarvot

Potenssifunktion derivaatta yleisesti (yhdistetty funktio)

Monet funktiot ovat kahden tai useamman funktion yhdistettyjä funktioita.

Funktioden f ja g yhdistetty funktio, jossa f on ulkofunktio ja g sisäfunktio on

$f\ \circ\ g=f\left(g\left(x\right)\right)$

esimerkkejä yhdistetyistä funktioista

$f\ \circ\ g\ =\left(2x^2-3\right)^4{,}\ jossa\ ulkofunktio\ on\ potenssifunktio\ f\left(x\right)=x^4\ ja\ sisäf\ g\left(x\right)=2x^2-3$

Yhdistetyn funktion derivaatta

$D\ f\ \circ\ g\ =D\ f\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)$
$\ jossa\ f'\left(g\left(x\right)\right)\ on\ ulkofunktion\ derivaatta\ ja\ g'\left(x\right)\ on\ sisäf.\ derivaatta$

Suomeksi yhdistetyn funktion derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo.

Esimerkiksi

$D\left(2x^2-3\right)^4=4\left(2x^3-3\right)^3\cdot D\left(2x^2-3\right)=4\left(2x^2-3\right)^3\cdot4x$
$jossa\ ulkof\ derivaatta\ on\ 4\left(2x^3-3\right)^3\ ja\ sisäf\ derivaatta\ 4x$

Derivoi seuraavat funktiot

$f\left(x\right)=\left(2x^2-3x+1\right)^6$

Kyseessä on yhdistetty funktio, jossa ulkofunktio on potenssifunktio

$\left(muotoa\ a^6\right)\ ja\ sisäfunktiona\ on\ 2x^2-3x+1$
Derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo

$f'\left(x\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\cdot D\left(2x^2-3x+1\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\left(4x-3\right)$

b)

$f\left(x\right)=2x\left(2-3x\right)^4$
Nyt käytetään tulon derivoimissääntöä, jossa

$toinen\ tekijä\ on\ 2x\ ja\ toinen\ \left(2-3x\right)^{^4}$
$\text{D}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$f'\left(x\right)=2\left(2-3x\right)^4+2x\cdot4\left(2-3x\right)^3\cdot\left(-3\right)=2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3$

Määritetään derivaatan nollakohdat

$2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3=0$
$\left(2-3x\right)^4-12x\left(2-3x\right)^3=0$
Huomataan, että molemmissa derivaatan termeissä yhteinen tekijä on

$\left(2-3x\right)^3$
$\left(2-3x\right)^3\left(\left(2-3x\right)-12x\right)=0$
$\left(2-3x\right)^3\left(2-15x\right)=0$
tulon nollasäännön mukaan

$\left(2-3x\right)^3=0\ \ tai\ 2-15x=0$
$2-3x=0\ tai\ 2-15x=0$
$x=\frac{2}{3}\ tai\ x=\frac{2}{15}$

477.

$f\left(x\right)=x\left(2x-6\right)^4$
Derivointi onnistuu helpoiten käyttämällä tulon derivoimissääntöä

$D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$ (nyt f(x) = x ja g(x) potenssilauseke)
$f'\left(x\right)=1\cdot\left(2x-6\right)^4+x\cdot4\left(2x-6\right)^3\cdot2$

$f'\left(x\right)=\left(2x-6\right)^4+8x\left(2x-6\right)^3$
$Derivaa\tan\ lausekkeessa\ on\ kaksi\ termiä{,}\ joista\ löytyy\ yhteinen\ tekijä\ \left(2x-6\right)^3$
$f'\left(x\right)=\left(2x-6\right)^3\left(\left(2x-6\right)+8x\right)=\left(2x-6\right)^3\left(10x-6\right)$
$f'\left(x\right)=0{,}\ kun\ \left(2x-6\right)^3=0\ \ eli\ x=3\ \ tai\ 10x-6=0\ eli\ x=\frac{3}{5}$

468.