3.2 Pistetulo

332

a) ratkaistaan mikä luvun r pitää olla, jotta vektoreiden u ja v pistetulo on 0

vektoreiden pistetulo on 0, kun r on joko -2/3 tai 1
on siis mahdollista valita reaaliluku r siten että vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

b)

331

a)
suunnikkaan sivuvektorit
$a=\frac{1}{2}\overline{u}\ \frac{1}{2}\overline{v}=1\overline{\text{i}}+4\overline{\text{j}}$
$b=-\frac{1}{2}\overline{u}\cdot\frac{1}{2}\overline{v}=4\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}$
b)
suunnikkaan kulmat
$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}=\frac{8}{17}=0{,}4705...$

$\cos^{-1}=61{,}9275...°\approx61{,}9°$

toinen kulma voidaan laskea

$2x=360°-2\cdot61{,}9°=236{,}14497...$
$x=\frac{236{,}14497...°}{2}=118{,}0724...°\approx118{,}1°$

327

$\overline{a}\cdot\overline{b}=2\cdot5+1\cdot0+\left(-5\right)\cdot\left(-4\right)=-10$
tämä kärki ei ole suorakulmainen

selvitetään kolmas sivuvektori ja selvitetään sen avulla, onko kolmion muut kärjet suorakulmaisia

$\overline{a}+\overline{c}=\overline{b}$
$\overline{c}=\overline{b}-\overline{a}=\left(5\overline{\text{i}}-4k\right)-\left(2\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}-5\overline{\text{k}}\right)$

$3\overline{\text{i}}-\overline{\text{j}}+\overline{\text{k}}$

$-\overline{a}\cdot\overline{c}=-2\cdot3+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-5\right)\cdot1=0$
tämä kärki on suorakulmainen

kolmio on suorakulmainen, koska sen samasta kärjestä lähtevien sivuvektorien pistetulo on 0

333

$\overline{u}=\overline{\text{i}}+r\overline{\text{j}}$
$\overline{v}=7\overline{\text{i}}+4\overline{\text{j}}$
$\overline{u}\cdot\overline{v}=7\cdot1+4\cdot r=0$
$4r=-7\ \parallel:4$
$r=-\frac{7}{4}$

323

$\overline{u}\cdot\overline{v}=1\cdot\left(-6\right)+2\cdot3=0$

vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

$\overline{u}\cdot\overline{v}=-8\cdot0{,}5+4\cdot3+\left(-0{,}5\right)\cdot6=5$

vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan

$\overline{u}\cdot\overline{v}=2\cdot5+\left(-0{,}3\right)\cdot20=4$

vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan

$\overline{u}\cdot\overline{v}=10\cdot\left(-1\right)+2\cdot5+3\cdot0=0$

vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan

322

$\overline{u}\cdot\overline{v}=3\cdot1+4\cdot3=15$

$\overline{u}\cdot\overline{v}=-2\cdot1+1\cdot3+\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)=5$

$\overline{u}\cdot\overline{v}=1\cdot0+5\cdot0+2\cdot1=2$

$\overline{u}\cdot\overline{v}=3\cdot0+2\cdot0+0\cdot3=0$

329

kulma A

$\overline{a}=\overline{AD}=\overline{\text{i}}+4\overline{\text{j}}$

$\overline{b}=\overline{AB}=9\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}$
$\overline{a}\cdot\overline{b}=9\cdot1+4\cdot2=17$
$\left|\overline{a}\right|=\sqrt{1^2+4^2}=3$
$\left|\overline{b}\right|=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{85}$
$\cos\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)=\frac{17}{3\sqrt{85}}$
$\cos^{-1}\left(\frac{17}{3\sqrt{85}}\right)=52{,}0745...°\approx52{,}1°$

kulma C

$\overline{c}=\overline{CB}=6\overline{\text{i}}+0\overline{\text{j}}$
$\overline{d}=\overline{CD}=-2\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}$

$\overline{c}\cdot\overline{d}=6\cdot\left(-2\right)+0\cdot2=-12$

$\left|\overline{c}\right|=\sqrt{6^2+0^2}=6$
$\left|d\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt{2}$
$\cos\left(\overline{c}{,}\ \overline{d}\right)=\frac{-12}{6\cdot2\sqrt{2}}$
$\cos^{-1}\left(\frac{-12}{6\cdot2\sqrt{2}}\right)=135°$