Jatkuva jakauma kuvataan usein funktiolla, jonka satunnaismuuttuja, X saa kaikki reaaliarvot eli jatkuvaa jakaumaa kuvaavan funktion kuvaaja on katkeamaton, yhtenäinen käyrä.

• Huom! Tod. laskennan yhteydessä käsiteltiin diskreettejä jakaumia, joissa satunnaismuuttuja X sai vain joitakin yksittäisiä arvoja.

Jatkuva jakauma hallitaan tiheysfunktiolla, jolla on seuraavat ominaisuudet:

• [[$f\left(x\right)\ge0\ \left(kuvaaja\ ei\ mene\ x-akselin\ alapuolelle\right)$]]
• [[$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1\ eli\ tiheysfunktion\ ja\ x-akselin\ rajaaman\ alueen\ pinta-ala\ on\ 1$]]

Useimmiten tiheysfunktio on sellainen, joka on määritelty useammassa osassa ja jollakin muuttujan arvoilla tiheysfunktio saa arvon nolla. Esimerkiksi tiheysfunktio voi olla
[[$f\left(x\right)=\begin{cases} e^{-x}{,}\ kun\ x\ge0&\\ 0{,}\ kun\ x<0& \end{cases}$]]


Yleisesti tiheysfunktioksi sopii mikä tahansa funktio, joka toteuttaa tiheysfunktion ehdot.

Jatkuvan jakauman todennäköisyydet määritetään pinta-alatulkinnalla eli määrätyn integraalin avulla.
Esim.
[[$P\left(X<a\right)=\int_{-\infty}^af\left(x\right)dx{,}\ $]]

[[$P\left(a\le X\le b\right)=\int_a^bf\left(x\right)dx\ \ \ ja\ \ P\left(X\ge b\right)=\int_b^{\infty}f\left(x\right)dx$]]


Jatkuvan jakauman tunnusluvut:

1. Odotusarvo (keskiarvo)
[[$\mu=E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f\left(x\right)dx$]]

2. Keskihajonta
[[$\sigma=D\left(X\right)=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu\right)^2\cdot f\left(x\right)dx}$]]

[[$Yleensä\ lasketaan\ aluksi\ keskihajonnan\ neliö\ eli\ varianssi\ \sigma^2$]].

Useimmiten tunnuslukujen laskemisessa käytetään symbolista laskentaa (geogebran CAS-puolta).





Kotitehtävät: 302 ja 304