Derivaatan määritelmä

Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.

Erotusosamäärä välillä [a, x]

$\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:
Derivaatan määritelmä

Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.

$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.

$Määritä\ funktion\ f\left(x\right)=x^2-4x\ derivaatta\ kohdassa\ x=2\ eli\ f'\left(2\right)$
$f'\left(2\right)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x-\left(2^2-4\cdot2\right)}{x-2}$
$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\left(x-2\right)=0$

eli f '(2) = 0. ⇒ Funktion derivaatta kohdassa x = 2 on 0 eli kohtaan x = 2 vastaavaan paraabelin pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla (funktion derivaatan nollakohta on x = 2)