Raja-arvo

Funktion raja-arvo

Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)$

Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.

Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.

Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.

Laske raja-arvo.

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}$
$nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}$

⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2

$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)$
$=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6$
$eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2$